Question

給出四個(gè)等式：





（1）寫(xiě)出第個(gè)等式，并猜測(cè)第（）個(gè)等式；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你猜測(cè)的等式.

Answer 1

（1）第個(gè)等式：，第個(gè)等式：，第個(gè)等式：；（2）詳見(jiàn)解析.

解析試題分析：（1）通過(guò)觀察前4個(gè)等式的特征不難得到第個(gè)等式，同過(guò)歸納，也易猜測(cè)第（）個(gè)等式、不過(guò)這里涉及到正負(fù)號(hào)問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題經(jīng)常通過(guò)或來(lái)調(diào)控；（2）首先要掌握好數(shù)學(xué)歸納法證題的規(guī)范、完整的證題步驟，而真正的難點(diǎn)和重點(diǎn)是由假設(shè)來(lái)推導(dǎo)第步，這里要充分地利用假設(shè)，對(duì)于恒等式的證明在利用了假設(shè)以后就很容易推導(dǎo)出第步，如何利用假設(shè)呢？就是要?jiǎng)?chuàng)造假設(shè)所具備的條件，那才會(huì)有假設(shè)所具有的結(jié)論，故有“湊假設(shè)”一說(shuō).
試題解析：（1）第個(gè)等式：                 2分
第個(gè)等式：                      4分
第個(gè)等式：           6分
（2）證明：（1）當(dāng)時(shí)，左邊， 右邊，左邊右邊，等式成立.   8分
（2）假設(shè)（）時(shí)，等式成立，即.
那么當(dāng)時(shí)，
∴當(dāng)時(shí)，等式也成立.
根據(jù)（1）、（2）可知，對(duì)于任何等式均成立．                        14分
考點(diǎn)：1.歸納推理；2. 數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用之一：歸納、猜想和證明.