設(shè)
是定義在
的可導(dǎo)函數(shù),且不恒為0,記
.若對定義域內(nèi)的每一個
,總有
,則稱
為“
階負函數(shù) ”;若對定義域內(nèi)的每一個
,總有
,則稱
為“
階不減函數(shù)”(
為函數(shù)
的導(dǎo)函數(shù)).
(1)若
既是“1階負函數(shù)”,又是“1階不減函數(shù)”,求實數(shù)
的取值范圍;
(2)對任給的“2階不減函數(shù)”
,如果存在常數(shù)
,使得
恒成立,試判斷
是否為“2階負函數(shù)”?并說明理由.
(1)
(2)所有滿足題設(shè)的
都是“2階負函數(shù)”
試題分析:解:(1)依題意,
在
上單調(diào)遞增,
故
恒成立,得
, 2分
因為
,所以
. 4分
而當
時,
顯然在
恒成立,
所以
. 6分
(2)①先證
:
若不存在正實數(shù)
,使得
,則
恒成立. 8分
假設(shè)存在正實數(shù)
,使得
,則有
,
由題意,當
時,
,可得
在
上單調(diào)遞增,
當
時,
恒成立,即
恒成立,
故必存在
,使得
(其中
為任意常數(shù)),
這與
恒成立(即
有上界)矛盾,故假設(shè)不成立,
所以當
時,
,即
; 13分
②再證
無解:
假設(shè)存在正實數(shù)
,使得
,
則對于任意
,有
,即有
,
這與①矛盾,故假設(shè)不成立,
所以
無解,
綜上得
,即
,
故所有滿足題設(shè)的
都是“2階負函數(shù)”. 16分
點評:主要是考查了新定義的運用,以及函數(shù)與方程的運用,屬于中檔題。
練習冊系列答案
相關(guān)習題
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)
的定義域為
,對定義域內(nèi)的任意x,滿足
,當
時,
(a為常),且
是函數(shù)
的一個極值點,
(1)求實數(shù)a的值;
(2)如果當
時,不等式
恒成立,求實數(shù)m的最大值;
(3)求證:
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)
(I)求函數(shù)
的極值;
(II)對于函數(shù)
和
定義域內(nèi)的任意實數(shù)
,若存在常數(shù)
,使得不等式
和
都成立,則稱直線
是函數(shù)
和
的“分界線”.
設(shè)函數(shù)
,
,試問函數(shù)
和
是否存在“分界線”?若存在,求出“分界線”的方程.若不存在請說明理由.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
若
2x2+1≤(
)
x-2,則函數(shù)y=2
x的值域是( 。
A.[,2) | B.[,2] | C.(-∞,] | D.[2,+∞) |
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
已知函數(shù)
,則方程
的不相等的實根個數(shù)為( )
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
已知函數(shù)
,給出下列四個命題:
①若
②
的最小正周期是
;
③
在區(qū)間
上是增函數(shù); ④
的圖象關(guān)于直線
對稱;
⑤當
時,
的值域為
其中正確的命題為
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知m∈R,對p:x
1和x
2是方程x
2-ax-2=0的兩個根,不等式|m-5|≤|x
1-x
2|對任意實數(shù)a∈[1,2]恒成立;q:函數(shù)f(x)=3x
2+2mx+m+
有兩個不同的零點.求使“p且q”為假命題、“p或q”為真命題的實數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
設(shè)函數(shù)
的定義域為
,對任意的實數(shù)
都有
;當
時,
,且
.(1)判斷并證明
在
上的單調(diào)性;
(2)若數(shù)列
滿足:
,且
,證明:對任意的
,
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