【題目】如圖,在三棱柱中, 平面, , , 是的中點, 是等腰三角形, 是的中點, 是上一點.
(Ⅰ)若,證明: 平面;
(Ⅱ)求直線與平面所成角的余弦值.
【答案】(1) 見解析(2)
【解析】試題分析:(Ⅰ)以為原點,以所在的直線分別為軸, 軸, 軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能證明平面;
(Ⅱ)(Ⅰ)知平面的一個法向量為, ,由此利用向量法能求出直線與平面所成角的余弦值.
試題解析:
(Ⅰ)證明:因為平面,又,
所以以為原點,以所在的直線分別為軸, 軸, 軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.
設(shè),又是等腰三角形,
所以, , , ,
所以, .
設(shè)平面的法向量為,
則,即,可得,
令,則,所以是平面的一個法向量.
又, 是的中點,所以, ,所以,
由于,所以,
又平面,所以平面.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知平面的一個法向量為, , , ,設(shè)直線與平面所成角的大小為,則,
又,所以,即直線與平面所成角的余弦值為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖放置的邊長為2的正三角形ABC沿x軸滾動,記滾動過程中頂點A的橫、縱坐標(biāo)分別為和,且是在映射作用下的象,則下列說法中:
① 映射的值域是;
② 映射不是一個函數(shù);
③ 映射是函數(shù),且是偶函數(shù);
④ 映射是函數(shù),且單增區(qū)間為,
其中正確說法的序號是___________.
說明:“正三角形ABC沿x軸滾動”包括沿x軸正方向和沿x軸負方向滾動.沿x軸正方向滾動指的是先以頂點B為中心順時針旋轉(zhuǎn),當(dāng)頂點C落在x軸上時,再以頂點C為中心順時針旋轉(zhuǎn),如此繼續(xù).類似地,正三角形ABC可以沿x軸負方向滾動.
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【題目】已知函數(shù) .若g(x)存在2個零點,則a的取值范圍是
A. [–1,0) B. [0,+∞) C. [–1,+∞) D. [1,+∞)
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【題目】當(dāng)|a|≤1,|x|≤1時,關(guān)于x的不等式|x2﹣ax﹣a2|≤m恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是( )
A.[ ,+∞)
B.[ ,+∞)
C.[ ,+∞)
D.[ ,+∞)
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【題目】某家庭進行理財投資,根據(jù)長期收益率市場預(yù)測,投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的一年收益與投資額成正比,其關(guān)系如圖(1);投資股票等風(fēng)險型產(chǎn)品的一年收益與投資額的算術(shù)平方根成正比,其關(guān)系如圖(2).(注:收益與投資額單位:萬元)
(1)分別寫出兩種產(chǎn)品的一年收益與投資額的函數(shù)關(guān)系;
(2)該家庭現(xiàn)有20萬元資金,全部用于理財投資,問:怎么分配資金能使一年的投資獲得最大收益,其最大收益是多少萬元?
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【題目】如圖為橢圓C:的左、右焦點,D,E是橢圓的兩個頂點,橢圓的離心率,的面積為.若點在橢圓C上,則點稱為點M的一個“橢圓”,直線與橢圓交于A,B兩點,A,B兩點的“橢圓”分別為P,Q.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)問是否存在過左焦點的直線,使得以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點?若存在,求出該直線的方程;若不存在,請說明理由.
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【題目】在已知空間四邊形ABCD中,E、F分別是棱AB、CD的中點,若2EF=BC,且異面直線EF與BC所成的角為60°,則AD與BC所成的角是
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校要召開學(xué)生代表大會,規(guī)定各班每10人推選一名代表,當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時再增選一名代表.那么,各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)y=[x]([x]表示不大于x的最大整數(shù))可以表示為( )
A. y= B. y= C. y= D. y=
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