【題目】如圖,將邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD沿對(duì)角線(xiàn)BD折疊,使得平面ABD丄平面CBD,若AM丄平面ABD,且AM=
(1)求證:DM⊥平面ABC;
(2)求二面角C﹣BM﹣D的大。
【答案】
(1)證明:法一(幾何法):如圖,取BD中點(diǎn)N,連結(jié)AN,CN,MN,
∵將邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD沿對(duì)角線(xiàn)BD折疊,使得平面ABD丄平面CBD,
∴AN⊥BD,CN⊥BD,
∵平面ABD丄平面CBD,平面ABD∩平面CBD=BD,CN平面CBD,CN⊥BD,
∴CN⊥平面ABD,又AM⊥平面ABD,∴CN∥AM,
又CN=AM=AN= ,∴AMCN是正方形,∴AC⊥MN,
由BD⊥AN,BD⊥CN,AN∩CN=N,得BD⊥平面AMCN,∴BD⊥AC,
又BD∩MN=N,∴AC⊥平面BDM,∴AC⊥MD,
∵AM⊥平面ABD,∴AM⊥AB,
又AB⊥AD,AM∩AD=A,∴AB⊥平面AMD,
∴AB⊥DM,又AC⊥DM,AB∩AC=A,
∴DM⊥平面ABC.
法二(向量法):如圖,取BD中點(diǎn)N,連結(jié)AN,CN,MN,
∵將邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD沿對(duì)角線(xiàn)BD折疊,使得平面ABD丄平面CBD,
∴AN⊥BD,CN⊥BD,
∵平面ABD丄平面CBD,平面ABD∩平面CBD=BD,CN平面CBD,CN⊥BD,
∴CN⊥平面ABD,
以A為原點(diǎn),AB、AD、AM所在直線(xiàn)分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,1, ),D(0,2,0),M(0,0, ),
=(2,0,0), =(1,1, ), =(0,﹣2, ),
∵ =0, =0,
∴DM⊥AB,DM⊥AC,
又AB∩AC=A,∴DM⊥平面ABC
(2)解:(2)B(2,0,0),C(1,1, ),D(0,2,0),M(0,0, ),
∴ =(﹣2,0, ), =(﹣1,1, ), =(﹣2,2,0),
設(shè)平面CBM的法向量 =(x,y,z),
則 ,取x=1,得 =(1,﹣1, ),
設(shè)平面DBM的法向量 =(a,b,c),
則 ,取a=1,得 =(1,1, ),
∴cos< >= = ,
設(shè)二面角C﹣BM﹣D的平面角為θ,由圖知θ為銳角,
∴cosθ= ,則θ= ,
∴二面角C﹣BM﹣D的大小為 .
【解析】(1)法一(幾何法):取BD中點(diǎn)N,連結(jié)AN,CN,MN,推導(dǎo)出AN⊥BD,CN⊥BD,從而CN⊥平面ABD,再求出AM⊥平面ABD,從而CN∥AM,推導(dǎo)出AC⊥MN,BD⊥AC,AC⊥MD,從而AM⊥平面ABD,進(jìn)而AM⊥AB,再由AB⊥AD,得AB⊥平面AMD,由此能證明DM⊥平面ABC.法二(向量法)取BD中點(diǎn)N,連結(jié)AN,CN,MN,以A為原點(diǎn),AB、AD、AM所在直線(xiàn)分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能證明DM⊥平面ABC.(2)取BD中點(diǎn)N,連結(jié)AN,CN,MN,以A為原點(diǎn),AB、AD、AM所在直線(xiàn)分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面CBM的法向量和平面DBM的法向量,利用向量法能求出二面角C﹣BM﹣D的大。
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線(xiàn)與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí),掌握一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直,則該直線(xiàn)與此平面垂直;注意點(diǎn):a)定理中的“兩條相交直線(xiàn)”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線(xiàn)與平面垂直”與“直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xoy中,過(guò)橢圓 右焦點(diǎn)的直線(xiàn) 交橢圓C于M,N兩點(diǎn),P為M,N的中點(diǎn),且直線(xiàn)OP的斜率為 .
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)另一直線(xiàn)l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),原點(diǎn)O到直線(xiàn)l的距離為 ,求△AOB面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】平面直角坐標(biāo)系中,已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(1,1)、(﹣3,3).若動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足 ,其中λ、μ∈R,且λ+μ=1,則點(diǎn)P的軌跡方程為( )
A.x﹣y=0
B.x+y=0
C.x+2y﹣3=0
D.(x+1)2+(y﹣2)2=5
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知{an}是等比數(shù)列,an>0,a3=12,且a2 , a4 , a2+36成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè){bn}是等差數(shù)列,且b3=a3 , b9=a5 , 求b3+b5+b7+…+b2n+1 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“楊輝三角”又稱(chēng)“賈憲三角”,是因?yàn)橘Z憲約在公元1050年首先使用“賈憲三角”進(jìn)行高次開(kāi)方運(yùn)算,而楊輝在公元1261年所著的《詳解九章算法》一書(shū)中,輯錄了賈憲三角形數(shù)表,并稱(chēng)之為“開(kāi)方作法本源”圖.下列數(shù)表的構(gòu)造思路就源于“楊輝三角”.該表由若干行數(shù)字組成,從第二行起,每一行中的數(shù)字均等于其“肩上”兩數(shù)之和,表中最后一行僅有一個(gè)數(shù),則這個(gè)數(shù)是( )
A.2017×22016
B.2018×22015
C.2017×22015
D.2018×22016
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】十七世紀(jì)英國(guó)著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家牛頓創(chuàng)立的求方程近似解的牛頓迭代法,相較于二分法更具優(yōu)勢(shì),如圖給出的是利用牛頓迭代法求方程x2=6的正的近似解的程序框圖,若輸入a=2,=0.02,則輸出的結(jié)果為( )
A.3
B.2.5
C.2.45
D.2.4495
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=(x﹣a)lnx+b.
(1)當(dāng)a=0時(shí),討論函數(shù)f(x)在[ ,+∞)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù);
(2)當(dāng)a>1且函數(shù)f(x)在(1,e)上有極小值時(shí),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn . 已知a1=2,Sn+1=4an+2.
(1)設(shè)bn=an+1﹣2an , 證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是菱形, ,PA=PD,F(xiàn)為AD的中點(diǎn),PD⊥BF.
(1)求證:AD⊥PB;
(2)若菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6,PA=5,求四面體PBCD的體積.
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