【題目】如圖,四邊形ABCD為正方形,PACE,AB=CEPAPA⊥平面ABCD.

1)證明:PE⊥平面DBE;

2)求二面角BPDE的正弦值的大小.

【答案】1)證明見解析.(2

【解析】

1)連結(jié)AC,推導出BDAC,PABDPAAD,從而BD⊥平面APEC,進而BDPE,推導出PEDE,由此能證明PE⊥平面DBE.

2)以A為原點,ADAB,AP所在直線為xy,z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出二面角BPDE的正弦值.

1)證明:連結(jié)AC,∵四邊形ABCD是正方形,

BDAC,∵PA⊥平面ABCD,∴PABD,PAAD

PAAC=A,∴BD⊥平面APEC,∵PE平面APEC,

BDPE,設AB=1,則AD=1PA=2,∴PD,

同理解得DE,在梯形PACE中,解得PE,

PE2+DE2=PD2,∴PEDE,∵BDDE=D,

PE⊥平面DBE.

2)以A為原點,AD,AB,AP所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,

AB=1,則CE=1AP=2,

P(0,0,2),E(11,1),D(1,00),B(0,1,0),

(﹣1,﹣1,1),(﹣1,0,2),(0,﹣12),

(1,﹣1,0),設平面DPE的法向量(x,yz),

,取z=1,得(2,﹣1,1),

設平面BPD的法向量(a,b,c),

,取c=1,得(22,1),

設二面角BPDE的平面角為θ,

,

∴二面角BPDE的正弦值sinθ.

練習冊系列答案
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如圖反映了我國全面放開二孩政策對我國人口年齡中位數(shù)的影響.據(jù)此,對我國人口年齡構(gòu)成的類型做出如下判斷:①建國以來直至2000年為成年型人口;②從2010年至2020年為老齡型人口;③放開二孩政策之后我國仍為老齡型人口.其中正確的是(

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②以為直徑的圓與直線一定相切;

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