【題目】已知在極坐系中,點(diǎn)繞極點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)角得到點(diǎn).以為原點(diǎn),極軸為軸非負(fù)半軸,并取相同的單位長度建立平面直角坐標(biāo)系,曲線繞逆時針旋轉(zhuǎn)得到曲線.
(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)點(diǎn)的極坐標(biāo)為,直線過點(diǎn)且與曲線交于兩點(diǎn),求的最小值.
【答案】(1);(2)14.
【解析】
(1)求得點(diǎn)繞極點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn),代入曲線上,結(jié)合極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式,即可求求解;
(2)求得的直角坐標(biāo),設(shè)的參數(shù)方程為(為參數(shù)),代入,利用參數(shù)的幾何意義和三角函數(shù)性質(zhì),即可求解.
(1)設(shè)為曲線是任意一點(diǎn),
則點(diǎn)繞極點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)在曲線上,
又由的直線坐標(biāo)方程為,代入可得,
整理,所以,
即曲線的方程為.
(2)由點(diǎn)的極坐標(biāo)為,可得的直角坐標(biāo)為 ,
設(shè)的參數(shù)方程為(為參數(shù)),
代入,整理后可得,
所以,
當(dāng)且僅當(dāng)或時取等號,此時,符合條件,
故的最小值為14.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應(yīng)“綠水青山就是金山銀山”的號召,因地制宜的將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”.經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn):某珍稀水果樹的單株產(chǎn)量(單位:千克)與施用肥料(單位:千克)滿足如下關(guān)系:,肥料成本投入為元,其它成本投入(如培育管理、施肥等人工費(fèi))元.已知這種水果的市場售價大約為15元/千克,且銷路暢通供不應(yīng)求.記該水果樹的單株利潤為(單位:元).
(Ⅰ)求的函數(shù)關(guān)系式;
(Ⅱ)當(dāng)施用肥料為多少千克時,該水果樹的單株利潤最大?最大利潤是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB⊥側(cè)面BCC1B1,AC=AB1.
(1)求證:平面ABC1⊥平面AB1C;
(2)若AB=BC=2,∠BCC1=60°,求二面角B﹣AC1﹣B1的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若只有個正整數(shù)解,求的取值范圍;
(2)①求證:方程有唯一實(shí)根,且;
②求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)為正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和,滿足.
(1)求的通項(xiàng)公式;
(2)若不等式對任意正整數(shù)都成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)設(shè)(其中是自然對數(shù)的底數(shù)),求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)的部分圖象如圖所示,又函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)設(shè)的內(nèi)角、、的對邊分別為、、,又,且銳角滿足,若,為邊的中點(diǎn),求的周長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)?/span>,若函數(shù)的圖象上存在區(qū)域內(nèi)的點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD為正方形,PA∥CE,AB=CEPA,PA⊥平面ABCD.
(1)證明:PE⊥平面DBE;
(2)求二面角B﹣PD﹣E的正弦值的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2019年鄭開國際馬拉松比賽,于2019年3月31日在鄭州、開封舉行.某學(xué)校本著“我運(yùn)動,我快樂,我鍛煉,我提高”精神,積極組織學(xué)生參加比賽及相關(guān)活動,為了了解學(xué)生的參與情況,從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了150名學(xué)生,對是否參與的情況進(jìn)行了問卷調(diào)查,統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下:
會參與 | 不會參與 | |
男生 | 60 | 40 |
女生 | 20 | 30 |
(1)根據(jù)上表說明,能否有97.5%的把握認(rèn)為參與馬拉松賽事與性別有關(guān)?
(2)現(xiàn)從參與問卷調(diào)查且參與賽事的學(xué)生中,采用按性別分層抽樣的方法選取8人參加2019年馬拉松比賽志愿者宣傳活動,
①求男、女學(xué)生各選取多少人;
②若從這8人中隨機(jī)選取2人到校廣播站開展2019年賽事宣傳介紹,求恰好選到2名男生的概率.
附:參考公式:,其中
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
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