【題目】設(shè)函數(shù)f(x)= x2+ax﹣lnx(a∈R).
(1)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)的極值;
(2)當(dāng)a>1時(shí),討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(3)若對(duì)任意a∈(3,4)及任意x1 , x2∈[1,2],恒有 m+ln2>|f(x1)﹣f(x2)|成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【答案】
(1)解:函數(shù)的定義域?yàn)椋?,+∞)
當(dāng)a=1時(shí),f(x)=x﹣lnx,則f′(x)=
令f′(x)>0,可得x<0或x>1,∵x>0,∴x>1;
令f′(x)<0,可得0<x<1,∵x>0,∴0<x<1;
∴x=1時(shí),函數(shù)f(x)取得極小值為1;
(2)解:f′(x)=
當(dāng) ,即a=2時(shí), ,f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù);
當(dāng) ,即a>2時(shí),令f′(x)<0,得 或x>1;令f′(x)>0,得
當(dāng) ,即1<a<2時(shí),令f′(x)<0,得0<x<1或x> ;令f′(x)>0,得
綜上,當(dāng)a=2時(shí),f(x)在定義域上是減函數(shù);
當(dāng)a>2時(shí),f(x)在(0, )和(1,+∞)上單調(diào)遞減,在( ,1)上單調(diào)遞增;
當(dāng)1<a<2時(shí),f(x)在(0,1)和( ,+∞)上單調(diào)遞減,在(1, )上單調(diào)遞增;
(3)解:由(2)知,當(dāng)a∈(3,4)時(shí),f(x)在[1,2]上單調(diào)遞減
∴當(dāng)x=1時(shí),f(x)有最大值,當(dāng)x=2時(shí),f(x)有最小值
∴
∴對(duì)任意a∈(3,4),恒有
∴m>
構(gòu)造函數(shù) ,則
∵a∈(3,4),∴
∴函數(shù) 在(3,4)上單調(diào)增
∴g(a)∈(0, )
∴m≥
【解析】(1)確定函數(shù)的定義域,利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù),確定函數(shù)的單調(diào)性,從而可求函數(shù)的極值;(2)求導(dǎo)函數(shù)f′(x)= ,分類討論,利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù),確定函數(shù)的單調(diào)性;(3)由(2)知,當(dāng)a∈(3,4)時(shí),f(x)在[1,2]上單調(diào)遞減,從而可得 對(duì)任意a∈(3,4),恒有 ,等價(jià)于m> ,求出右邊函數(shù)的值域,即可求得結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在半徑為 ,圓心角為60°的扇形的弧上任取一點(diǎn)P,作扇形的內(nèi)接矩形PNMQ,使點(diǎn)Q在OA上,點(diǎn)N,M在OB上,設(shè)矩形PNMQ的面積為y,∠POB=θ.
(1)將y表示成θ的函數(shù)關(guān)系式,并寫出定義域;
(2)求矩形PNMQ的面積取得最大值時(shí) 的值;
(3)求矩形PNMQ的面積y≥ 的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某海濱浴場(chǎng)每年夏季每天的海浪高度y(米)是時(shí)間x(0≤x≤24,單位:小時(shí))的函數(shù),記作y=f(x),下表是每年夏季每天某些時(shí)刻的浪高數(shù)據(jù):
x(時(shí)) | 0 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 |
y(米) | 1.5 | 1.0 | 0.5 | 1.0 | 1.5 | 1.0 | 0.5 | 1.0 | 1.5 |
(1)經(jīng)觀察發(fā)現(xiàn)可以用三角函數(shù)y=Acosωx+b對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合,求函數(shù)f(x)的表達(dá)式;
(2)浴場(chǎng)規(guī)定,每天白天當(dāng)海浪高度高于1.25米時(shí),才對(duì)沖浪愛好者開放,求沖浪者每天白天可以在哪個(gè)時(shí)段到該浴場(chǎng)進(jìn)行沖浪運(yùn)動(dòng)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從1開始的自然數(shù)按如圖所示的規(guī)則排列,現(xiàn)有一個(gè)三角形框架在圖中上下或左右移動(dòng),使每次恰有九個(gè)數(shù)在此三角形內(nèi),則這九個(gè)數(shù)的和可以為( )
A.2097 B.2112 C.2012 D.2090
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從某小區(qū)抽取100戶居民進(jìn)行月用電量調(diào)查,發(fā)現(xiàn)其用電量都在50至350度之間,頻率分布直方圖如圖所示,在這些用戶中,用電量落在區(qū)間[150,250)內(nèi)的戶數(shù)為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】通過隨機(jī)詢問110名性別不同的大學(xué)生是否愛好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng),得到如下的列聯(lián)表:
由算得, .
P(K2≥k0) | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
則參照附表,得到的正確結(jié)論應(yīng)是( )
A. 在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1%的前提下,認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”
B. 在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1%的前提下,認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”
C. 有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”
D. 有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知首項(xiàng)是1的兩個(gè)數(shù)列{an},{bn}(bn≠0,n∈N*)滿足anbn+1﹣an+1bn+2bn+1bn=0.
(1)令cn= ,求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式;
(2)若bn=3n﹣1 , 求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)是二次函數(shù),且f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,
(1)求f(x)的表達(dá)式;
(2)若f(x)>a在x∈[﹣1,1]恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)是自然對(duì)數(shù)的底數(shù), .
(1)求的單調(diào)區(qū)間,最大值;
(2)討論關(guān)于x的方程根的個(gè)數(shù).
所以當(dāng)時(shí),方程有兩個(gè)根;
當(dāng)時(shí),方程有一兩個(gè)根;
當(dāng)時(shí),方程有無兩個(gè)根.
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