在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AD=
2
，AA1=2，如圖，
（1）當(dāng)點P在BB1上運動時（點P∈BB1，且異于B，B1）設(shè)PA∩BA1=M，PC∩BC1=N，求證：MN∥平面ABCD
（2）當(dāng)點P是BB1的中點時，求異面直線PC與AD1所成角的正弦值．
（1）證明：連接MN，∵BP∥AA1，∴
PM
MA
=
BP
AA1
，
同理
PN
NC
=
BP
CC1
，∵AA1=CC1，∴
PM
MA
=
PN
NC
，∴MN∥AC，
又AC?平面ABCD，MN?平面ABCD，∴MN∥平面ABCD．
（2）∵AB∥C1D1，AB=C1D1，∴四邊形ABC1D1為平行四邊形，
∴AD1∥BC1，∴∠BNC為異面直線PC與AD1所成角，
∵點P是BB1的中點，∴BP=1=
1
2
CC1，∴BN=
1
2
NC1=
1
3
AC1=
6
3
，
CN=2PN=
2
3
PC=
2
3
3
，BC=
2
，
由余弦定理得cos∠BNC=
BN2+CN2-BC2
2×BN×CN
=0，
∴sin∠BNC=1．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

平面ACD⊥平面α，B為AC的中點，AC=2，∠CBD=60°，P是α內(nèi)的動點，且P到直線BD的距離為
3
，則△APC面積的最大值為（　�。�
A．2
3
B．
3
+
2
C．2D．
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四面體ABCD中，平面EFGH分別平行于棱CD、AB，E、F、G、H分別在BD、BC、AC、AD上，且CD=a，AB=b，CD⊥AB．
（1）求證：四邊形EFGH是矩形．
（2）設(shè)
DE
DB
=λ(0＜λ＜1)，問λ為何值時，四邊形EFGH的面積最大？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知E、F分別是三棱錐A-BCD的側(cè)棱AB、AD的中點，
求證：EF∥平面BCD．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，PD⊥底面ABCD，四邊形ABCD是正方形，PD=DC，E是PC的中點．
（1）證明：PA∥平面BDE；
（2）證明：平面ADE⊥平面PBC；
（3）求直線AE與平面ABCD所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)多面體ABCDEF，已知AB∥CD∥EF，平面ABCD⊥平面ADF，△ADF是以AD為斜邊的等腰直角三角形，若∠ADC=120°，AD=2，AB=2，CD=4，EF=3，G為BC的中點．
（1）求證：EG∥平面ADF；
（2）求直線DE與平面ABCD所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=AA1，D，E，F(xiàn)分別為AB1，CC1，BC的中點．
（1）求證：DE∥平面ABC；
（2）求證：B1F⊥平面AEF．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別是AB，PD的中點，
又∠PDA為45°
（1）求證：AF∥平面PEC
（2）求證：平面PEC⊥平面PCD．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

若將邊長為2的正方形ABCD沿對角線BD折成一個直二面角，且EA⊥平面ABD，AE=a（如圖）．
（Ⅰ）若a=2
2
，求證：AB∥平面CDE；
（Ⅱ）求實數(shù)a的值，使得二面角A-EC-D的大小為60°．

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