如圖，在四面體ABCD中，平面EFGH分別平行于棱CD、AB，E、F、G、H分別在BD、BC、AC、AD上，且CD=a，AB=b，CD⊥AB．
（1）求證：四邊形EFGH是矩形．
（2）設(shè)
DE
DB
=λ(0＜λ＜1)，問λ為何值時(shí)，四邊形EFGH的面積最大？
（1）證明：∵CD∥面EFGH，CD?平面BCD，
而平面EFGH∩平面BCD=EF．∴CD∥EF同理HG∥CD．∴EF∥HG
同理HE∥GF．∴四邊形EFGH為平行四邊形…（3分）
由CD∥EF，HE∥AB∴∠HEF（或其補(bǔ)角）為CD和AB所成的角，
又∵CD⊥AB．∴HE⊥EF．∴四邊形EFGH為矩形．…..（6分）
（2）由（1）可知在△ABD中EH∥AB，∴
DE
DB
=
EH
AB
=λ，所以EH=λb，
在△BCD中EF∥CD，∴
BE
BD
=
EF
CD
=1-λ，所以EF=a（1-λ） …（8分）
又EFGH是矩形，故四邊形EFGH的面積S=a（1-λ）•λb≤ab(
λ+1-λ
2
)2=
1
4
ab，當(dāng)且僅當(dāng)λ=1-λ，
即λ=
1
2
時(shí)等號(hào)成立，即E為BD的中點(diǎn)時(shí)，矩形EFGH的面積最大為
1
4
ab…．（12分）
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

正方體ABCD-A1B1C1D1棱長(zhǎng)為a，則點(diǎn)C1到平面A1BD的距離是（　�。�
A．
2
2
a		B．
3
3
a		C．
3
a		D．
2
3
3
a

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=4，E、F、G分別是PC、PD、BC的中點(diǎn)．
（1）求證：PA∥平面EFG
（2）求三棱錐P-EFG的體積
（3）求點(diǎn)P到平面EFG的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，E是BC的中點(diǎn)，D是AA1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且
AD
DA1
=m，若AE∥平面DB1C，則m的值等于______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=120°，AC=CB=A1A=1，D1是A1B1上一動(dòng)點(diǎn)（可以與A1或B1重合），過D1和C1C的平面與AB交于D．
（Ⅰ）證明BC∥平面AB1C1；
（Ⅱ）若D1為A1B1的中點(diǎn)，求三棱錐B1-C1AD1的體積VB1-C1AD1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖（1）所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD=DC=PD=2，E、F、G分別為線段PC、PD、BC的中點(diǎn)，現(xiàn)將△PDC折起，使平面PDC⊥平面ABCD（圖（2））．
（1）求證：AP∥平面EFG；
（2）若點(diǎn)Q是線段PB的中點(diǎn)，求證：PC⊥平面ADQ；
（3）求三棱錐C-EFG的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，P、Q分別是正方形AA1D1D和A1B1C1D1的中心．
（1）證明：PQ∥平面DD1C1C；
（2）求線段PQ的長(zhǎng)；
（3）求PQ與平面AA1D1D所成的角．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AD=
2
，AA1=2，如圖，
（1）當(dāng)點(diǎn)P在BB1上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P∈BB1，且異于B，B1）設(shè)PA∩BA1=M，PC∩BC1=N，求證：MN∥平面ABCD
（2）當(dāng)點(diǎn)P是BB1的中點(diǎn)時(shí)，求異面直線PC與AD1所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，E、F分別為PA、BC的中點(diǎn)．
求證：EF∥平面PCD．

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同步練習(xí)冊(cè)答案