已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=AA1，D，E，F(xiàn)分別為AB1，CC1，BC的中點．
（1）求證：DE∥平面ABC；
（2）求證：B1F⊥平面AEF．
證明：（1）取AA1，的中點G，連接DG，EG
∵D，E為AB1，CC1的中點，
則DG∥AB，EG∥AC，
又∵DG，EG?平面GDE，DG∩EG=G，AB，AC?平面ABC
∴平面GDE∥平面ABC，
又∵DG?平面GDE
∴DG∥平面ABC．
（2）連結(jié)AF，則AF⊥平面BCC1B1．
∵AB=AC，F(xiàn)為BC的中點
∴AF⊥BC
∵棱柱ABC-A1B1C1為直棱柱
∴平面ABC⊥平面BCC1B1．
又∵平面ABC∩平面BCC1B1=BC
∴AF⊥平面BCC1B1，
又∵B1F?平面BCC1B1，
∴B1F⊥AF，
在△B1FE中，B1F=
6
2
AB，B1=
3
2
AB，EF=
3
2
AB
由勾股定理易得B1F⊥EF，
又∵AF，EF?平面AEF，AF∩EF=F
∴B1F⊥平面AEF．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=4，E、F、G分別是PC、PD、BC的中點．
（1）求證：PA∥平面EFG
（2）求三棱錐P-EFG的體積
（3）求點P到平面EFG的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，P、Q分別是正方形AA1D1D和A1B1C1D1的中心．
（1）證明：PQ∥平面DD1C1C；
（2）求線段PQ的長；
（3）求PQ與平面AA1D1D所成的角．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AD=
2
，AA1=2，如圖，
（1）當點P在BB1上運動時（點P∈BB1，且異于B，B1）設PA∩BA1=M，PC∩BC1=N，求證：MN∥平面ABCD
（2）當點P是BB1的中點時，求異面直線PC與AD1所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1的中點．
（1）求CAl與底面ABCD所成角的正切值；
（2）證明A1C∥平面BDE．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

下列說法正確的是（　�。�
A．垂直于同一平面的兩平面也平行
B．與兩條異面直線都相交的兩條直線一定是異面直線
C．過一點有且只有一條直線與已知直線垂直
D．垂直于同一直線的兩平面平行

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖是一個長方體截去一個角所得的多面體的直觀圖及它的正（主）視圖和側(cè)（左）視圖（單位：cm）．
（1）畫出該多面體的俯視圖；
（2）按照給出的尺寸，求該多面體的體積；
（3）在所給直觀圖中連接BC'，證明：BC'∥平面EFG．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，E、F分別為PA、BC的中點．
求證：EF∥平面PCD．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱AA1，BB1的中點．
（1）求證：平面A1BC1∥平面ACD1；
（2）求異面直線A1F與D1E所成的角的余弦值．

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