【題目】在直四棱柱中，底面是菱形，，，、分別是線段、的中點(diǎn).

（1）求證：；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）連接，交于點(diǎn)，利用菱形對(duì)角線的性質(zhì)得出，由直棱柱的性質(zhì)得出平面，可得出，由直線與平面垂直的判定定理可證明出平面，由此可證明出；

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，分別為，軸，過點(diǎn)垂直于平面的直線為軸，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量法計(jì)算出平面與平面所成銳二面角的余弦值.

（1）連接，交于點(diǎn).

因?yàn)樗倪呅?/span>是菱形，所以.

因?yàn)樗睦庵?/span>是直四棱柱，所以平面.

因?yàn)?/span>平面，所以.

因?yàn)?/span>，所以平面.

因?yàn)?/span>平面，所以；

（2）由（1）知，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，分別為，軸，過點(diǎn)垂直于平面的直線為軸，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)榈酌嫠倪呅?/span>為菱形，且，

所以，，又因?yàn)?/span>、分別是線段、的中點(diǎn)，

所以，，，

所以，.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則.

令，得.

易知為平面的一個(gè)法向量.

設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，

所以，

所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

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【題目】如圖為我國數(shù)學(xué)家趙爽約3世紀(jì)初在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)驗(yàn)證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供5種顏色給其中5個(gè)小區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，則區(qū)域涂色不相同的概率為　　

A. B. C. D.

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(2)若數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

(3)若數(shù)列的各項(xiàng)皆為正數(shù)，，設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，問：是否存在整數(shù)，使得數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列?若存在,求出整數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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【題目】已知函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)。

（1）證明：在內(nèi)存在唯一的極小值點(diǎn)；

（2）證明：當(dāng)時(shí)，有且只有兩個(gè)零點(diǎn).

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【題目】從某校隨機(jī)抽取100名學(xué)生，獲得了他們一周課外閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)）的數(shù)據(jù)，整理得到頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖如下．

組號(hào)

分組

頻數(shù)

1

[0，2）

6

2

[2，4）

8

3

[4，6）

17

4

[6，8）

22

5

[8，10）

25

6

[10，12）

12

7

[12，14）

6

8

[14，16）

2

9

[16，18）

2

合計(jì)

100

（1）從該校隨機(jī)選取一名學(xué)生，試估計(jì)這名學(xué)生該周課外閱讀時(shí)間少于12小時(shí)的頻率；

（2）求頻率分布直方圖中的a，b的值．

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【題目】謝爾賓斯基三角形（Sierpinski triangle）是一種分形幾何圖形，由波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基在1915年提出，它是一個(gè)自相似的例子，其構(gòu)造方法是：

（1）取一個(gè)實(shí)心的等邊三角形（圖1）；

（2）沿三邊中點(diǎn)的連線，將它分成四個(gè)小三角形；

（3）挖去中間的那一個(gè)小三角形（圖2）；

（4）對(duì)其余三個(gè)小三角形重復(fù)（1）（2）（3）（4）（圖3）.

制作出來的圖形如圖4，….

若圖1（陰影部分）的面積為1，則圖4（陰影部分）的面積為（ ）

A.B.C.D.

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【題目】在直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的離心率是，斜率不為0的直線：與相交于、兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn).

（1）若、分別是的左、右焦點(diǎn)，當(dāng)經(jīng)過且時(shí)，求的值；

（2）試探究，是否存在點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)寫出滿足條件的、的關(guān)系式；若不存在，說明理由.

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【題目】至年底，我國發(fā)明專利申請(qǐng)量已經(jīng)連續(xù)年位居世界首位，下表是我國年至年發(fā)明專利申請(qǐng)量以及相關(guān)數(shù)據(jù).

注：年份代碼～分別表示～.

（1）可以看出申請(qǐng)量每年都在增加，請(qǐng)問這幾年中哪一年的增長率達(dá)到最高，最高是多少？

（2）建立關(guān)于的回歸直線方程（精確到），并預(yù)測(cè)我國發(fā)明專利申請(qǐng)量突破萬件的年份.

參考公式：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為，

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【題目】水車在古代是進(jìn)行灌溉引水的工具，是人類的一項(xiàng)古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的象征．如圖是一個(gè)半徑為R的水車，一個(gè)水斗從點(diǎn)A(3，－3)出發(fā)，沿圓周按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)60秒．經(jīng)過t秒后，水斗旋轉(zhuǎn)到P點(diǎn)，設(shè)P的坐標(biāo)為(x，y)，其縱坐標(biāo)滿足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ)(t≥0，ω＞0，|φ|＜)．則下列敘述錯(cuò)誤的是(　　)

A.R＝6，ω＝，φ＝－

B.當(dāng)t∈[35,55]時(shí)，點(diǎn)P到x軸的距離的最大值為6

C.當(dāng)t∈[10,25]時(shí)，函數(shù)y＝f(t)單調(diào)遞減

D.當(dāng)t＝20時(shí)，|PA|＝6

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