Question

【題目】已知函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)。

（1）證明：在內(nèi)存在唯一的極小值點(diǎn)；

（2）證明：當(dāng)時，有且只有兩個零點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）令，可知函數(shù)在單調(diào)遞增，利用零點(diǎn)存在定理并結(jié)合函數(shù)在上的單調(diào)性可證明出函數(shù)在內(nèi)存在唯一的極小值點(diǎn)；

（2）利用導(dǎo)數(shù)證明出函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可證明出函數(shù)在區(qū)間只有一個零點(diǎn)，利用（1）中的結(jié)論可證明出函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn)，再由以及函數(shù)在上單調(diào)遞增，可證明出函數(shù)有且只有兩個零點(diǎn).

（1）令，則，

顯然函數(shù)在單調(diào)遞增.

因?yàn)?/span>，，

（因?yàn)?/span>）

故存在唯一的使得.

所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)，即在區(qū)間存在唯一的極小值點(diǎn)，且；

（2）當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，，，，

所以，函數(shù)在區(qū)間上存在唯一的零點(diǎn).

當(dāng)時，由（1）當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，，，所以存在，使得，

當(dāng)，，當(dāng)，，

所以在先遞增后遞減，，，

函數(shù)在沒有零點(diǎn)；

因?yàn)?/span>，所以是函數(shù)的第二個零點(diǎn)；

時，，函數(shù)單調(diào)遞增，，沒有零點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)有且只有兩個零點(diǎn).