Question

已知復(fù)數(shù)z₁=，z₂=2+（3a+1）i（a∈R，i是虛數(shù)單位）．
（1）若復(fù)數(shù)z₁-z₂在復(fù)平面上對應(yīng)點落在第一象限，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若虛數(shù)z₁是實系數(shù)一元二次方程x²-6x+m=0的根，求實數(shù)m值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設(shè)條件，可先通過復(fù)數(shù)的運算求出的代數(shù)形式的表示，再由其幾何意義得出實部與虛部的符號，轉(zhuǎn)化出實數(shù)a所滿足的不等式，解出其取值范圍；
（2）實系數(shù)一元二次方程x²-6x+m=0的兩個根互為共軛復(fù)數(shù)，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出a的值，從而求出m的值．
解答：解：（1）由條件得，z₁-z₂=（）+（a²-3a-4）i…（2分）
因為z₁-z₂在復(fù)平面上對應(yīng)點落在第一象限，故有…（4分）
∴解得-2＜a＜-1…（6分）
（2）因為虛數(shù)z₁是實系數(shù)一元二次方程x²-6x+m=0的根
所以z₁+==6，即a=-1，…（8分）
把a=-1代入，則z₁=3-2i，=3+2i，…（10分）
所以m=z₁•=13…（12分）
點評：本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式及其幾何意義，解題的關(guān)鍵是根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的幾何意義得出參數(shù)所滿足的不等式，同時考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題．