【題目】(Ⅰ)設(shè)x≥1,y≥1,證明x+yxy;
(Ⅱ)1≤a≤b≤c,證明logab+logbc+logca≤logba+logcb+logac.
【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ)見解析
【解析】
(Ⅰ)根據(jù)題意,首先對原不等式進(jìn)行變形有x+yxyxy(x+y)+1≤x+y+(xy)2;再用做差法,讓右式﹣左式,通過變形、整理化簡可得右式﹣左式=(xy﹣1)(x﹣1)(y﹣1),又由題意中x≥1,y≥1,判斷可得右式﹣左式≥0,從而不等式得到證明.
(Ⅱ)首先換元,設(shè)logab=x,logbc=y,由換底公式可得:logba,logcb,logac,logac=xy,將其代入要求證明的不等式可得:x+yxy;又有logab=x≥1,logbc=y≥1,借助(Ⅰ)的結(jié)論,可得證明.
證明:(Ⅰ)由于x≥1,y≥1;則x+yxyxy(x+y)+1≤x+y+(xy)2;
用作差法,右式﹣左式=(x+y+(xy)2)﹣(xy(x+y)+1)
=((xy)2﹣1)﹣(xy(x+y)﹣(x+y))
=(xy+1)(xy﹣1)﹣(x+y)(xy﹣1)
=(xy﹣1)(xy﹣x﹣y+1)
=(xy﹣1)(x﹣1)(y﹣1);
又由x≥1,y≥1,則xy≥1;即右式﹣左式≥0,從而不等式得到證明.
(Ⅱ)設(shè)logab=x,logbc=y,
由換底公式可得:logba,logcb,logca,logac=xy,
于是要證明的不等式可轉(zhuǎn)化為x+yxy;
其中logab=x≥1,logbc=y≥1,
由(Ⅰ)的結(jié)論可得,要證明的不等式成立.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),關(guān)于函數(shù)有下列結(jié)論:
①,;
②函數(shù)的圖象是中心對稱圖形,且對稱中心是;
③若是的極大值點,則在區(qū)間單調(diào)遞減;
④若是的極小值點,且,則有且僅有一個零點.
其中正確的結(jié)論有________(填寫出所有正確結(jié)論的序號).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于數(shù)對序列、、、,記,,其中表示和兩個數(shù)中最大的數(shù).
(1)對于數(shù)對序列,,求,的值;
(2)記為、、、四個數(shù)中最小值,對于由兩個數(shù)對、組成的數(shù)對序列、和、,試分別對和的兩種情況比較和的大。
(3)在由個數(shù)對、、、、組成的所有數(shù)對序列中,寫出一個數(shù)對序列使最小,并寫出的值.(只需寫出結(jié)論)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知曲線,曲線,P是平面上一點,若存在過點P的直線與都有公共點,則稱P為“C1—C2型點”.
(1)在正確證明的左焦點是“C1—C2型點”時,要使用一條過該焦點的直線,試寫出一條這樣的直線的方程(不要求驗證);
(2)設(shè)直線與有公共點,求證,進(jìn)而證明原點不是“C1—C2型點”;
(3)求證:圓內(nèi)的點都不是“C1—C2型點”.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求證:當(dāng)時,對任意恒成立;
(2)求函數(shù)的極值;
(3)當(dāng)時,若存在且,滿足,求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)若討論的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時,若函數(shù)與的圖象有且僅有一個交點,求的值(其中表示不超過的最大整數(shù),如.
參考數(shù)據(jù):
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD是菱形,,為等邊三角形,G是線段SB上的一點,且SD//平面GAC.
(1)求證:G為SB的中點;
(2)若F為SC的中點,連接GA,GC,FA,FG,平面SAB⊥平面ABCD,,求三棱錐F-AGC的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】足球運動被譽為“世界第一運動”.為推廣足球運動,某學(xué)校成立了足球社團(tuán)由于報名人數(shù)較多,需對報名者進(jìn)行“點球測試”來決定是否錄取,規(guī)則如下:
(1)下表是某同學(xué)6次的訓(xùn)練數(shù)據(jù),以這150個點球中的進(jìn)球頻率代表其單次點球踢進(jìn)的概率.為加入足球社團(tuán),該同學(xué)進(jìn)行了“點球測試”,每次點球是否踢進(jìn)相互獨立,將他在測試中所踢的點球次數(shù)記為,求;
(2)社團(tuán)中的甲、乙、丙三名成員將進(jìn)行傳球訓(xùn)練,從甲開始隨機地將球傳給其他兩人中的任意一人,接球者再隨機地將球傳給其他兩人中的任意一人,如此不停地傳下去,且假定每次傳球都能被接到.記開始傳球的人為第1次觸球者,接到第n次傳球的人即為第次觸球者,第n次觸球者是甲的概率記為.
(i)求,,(直接寫出結(jié)果即可);
(ii)證明:數(shù)列為等比數(shù)列.
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