Question

【題目】如圖平面PAC⊥平面ABC， AC⊥BC，PE// BC，M，N分別是AE，AP的中點(diǎn)，且△PAC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，BC=3，PE =2.

（1）求證:MN⊥平面PAC；

（2）求平面PAE與平面ABC夾角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）由三角形中位線(xiàn)可得，由面面垂直性質(zhì)定理可得平面，進(jìn)而可得結(jié)果；

（2）取AC的中點(diǎn)F，連接PF，取AB的中點(diǎn)G，連接GF，以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，FC為x軸，FG為y軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面PAE與平面ABC的法向量，求出法向量的夾角即可得出結(jié)果.

（1）證明： 分別是的中點(diǎn)，

是的一條中位線(xiàn)，，

又，

平面平面，交線(xiàn)為AC，且，

平面，又，平面

（2）取AC的中點(diǎn)F，連接PF

為的等邊三角形，

又平面平面，交線(xiàn)為AC

平面

取AB的中點(diǎn)G，連接GF

易知，又平面平面ABC

平面

故以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，FC為x軸，FG為y軸建立空間直角坐標(biāo)系

則，A(-1，0，0)，E(0，2，)，，

設(shè)=(x，y，z)為平面PAE的一個(gè)法向量

則 ，

令，則x=-3，y=0， 所以

由平面知，為平面ABC的一個(gè)法向量

設(shè)平面PAE與平面ABC的夾角為

則

即平面PAE與平面夾角的余弦值為.