Question

6．已知函數(shù)f（x）=（x³-6x²+3x+t）e^x，t∈R．
（1）若函數(shù)f（x）有三個(gè)極值點(diǎn)，求t的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）在x=a，x=b，x=c（a＜b＜c）處取得極值，且a+c=2b²，求f（x）的零點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）由已知得f′（x）=（x³-3x²-9x+t+3）e^x，令g（x）=x³-3x²-9x+t+3，由此能求出t的取值范圍．
（2）由已知得x³-3x²-9x+t+3=（x-a）（x-b）（x-c）=x³-（a+b+c）x²+（ab+bc+ac）x-abc，由此能求出f（x）的零點(diǎn)．

解答 解：（1）∵f（x）=（x³-6x²+3x+t）e^x，t∈R．
∴f′（x）=（3x²-12x+3）e^x+（x³-6x²+3x+t）e^x
=（x³-3x²-9x+t+3）e^x，
∵f（x）有3個(gè)極值點(diǎn)，∴x³-3x²-9x+t+3=0有3個(gè)不同的根，（2分）
令g（x）=x³-3x²-9x+t+3，則g′（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3），
從而函數(shù)g（x）在（-∞，-1），（3，+∞）上遞增，在（-1，3）上遞減．
∵g（x）有3個(gè)零點(diǎn)，∴$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）＞0}\\{g（3）＜0}\end{array}\right.$，∴-8＜t＜24．（4分）
（2）∵a，b，c是f（x）的三個(gè)極值點(diǎn)
∴x³-3x²-9x+t+3=（x-a）（x-b）（x-c）
=x³-（a+b+c）x²+（ab+bc+ac）x-abc，（6分）
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=3}\\{ab+ac+bc=-9}\\{a+c={2b}^{2}}\end{array}\right.$，∴b=1或b=-$\frac{3}{2}$（舍，∵b∈（-1，3））
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=1-2\sqrt{3}}\\{b=1}\\{c=1+2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴f（x）的零點(diǎn)分別為1-2$\sqrt{3}$，1，1+2$\sqrt{3}$．（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查函數(shù)的零點(diǎn)的求法，考查正整數(shù)的最大值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．