Question

【題目】已知函數，.

（1）若對任意實數，關于的方程：總有實數解，求的取值范圍；

（2）若，求使關于的方程：有三個實數解的的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由題意得知函數的值域為，根據二次函數的基本性質可得函數在區(qū)間上的值域，以及該函數在區(qū)間上的值域，可得出，從而可得出實數的取值范圍；

（2）由題意得出，可知不是方程的根，由參變量分離法得出，令，將問題轉化為直線與函數的圖象有三個公共點，利用數形結合思想可得出實數的取值范圍.

（1）原問題等價為函數的值域為.

當時，，

所以，函數在區(qū)間上的值域為；

當時，，

則函數在區(qū)間上單調遞增，此時.

所以，函數在區(qū)間上的值域為.

由題意可得，.

因此，實數的取值范圍是；

（2）當時，，可知不是方程的根，

當時，由，得，令，

則，所以，直線與函數的圖象有三個公共點.

當時，由雙勾函數的單調性可知，函數的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為，此時，函數取得最小值，即；

當時，，

由于函數和函數都是減函數，則函數在區(qū)間上為減函數.

作出函數和直線的圖象如下圖所示：

由圖象可知，當時，直線與函數的圖象有三個交點，

因此，實數的取值范圍是.