【題目】已知函數(shù)，曲線的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.

（1）求，并證明；

（2）若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】（1）見(jiàn)解析； （2）.

【解析】

（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得，得到函數(shù)的解析式，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解；

（2）把對(duì)任意的恒成立等價(jià)于對(duì)任意的恒成立，

令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解．

（1）根據(jù)題意，函數(shù)，則，則，

由切線方程可得切點(diǎn)坐標(biāo)為，將其代入，解得，

故，則，

則，得，

，函數(shù)單調(diào)遞減；

，函數(shù)單調(diào)遞增；

所以，所以．

（2）由對(duì)任意的恒成立等價(jià)于對(duì)任意的恒成立，

令，

得，

由（1）可知，當(dāng)時(shí)，恒成立，

令，得；，得，

所以的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，

故，所以.

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】“黃梅時(shí)節(jié)家家雨”“梅雨如煙暝村樹(shù)”“梅雨暫收斜照明”……江南梅雨的點(diǎn)點(diǎn)滴滴都流潤(rùn)著濃烈的詩(shī)情.每年六、七月份，我國(guó)長(zhǎng)江中下游地區(qū)進(jìn)入持續(xù)25天左右的梅雨季節(jié)，如圖是江南鎮(zhèn)2009～2018年梅雨季節(jié)的降雨量（單位：）的頻率分布直方圖，試用樣本頻率估計(jì)總體概率，解答下列問(wèn)題：

“梅實(shí)初黃暮雨深”.請(qǐng)用樣本平均數(shù)估計(jì)鎮(zhèn)明年梅雨季節(jié)的降雨量；

“江南梅雨無(wú)限愁”.鎮(zhèn)的楊梅種植戶(hù)老李也在犯愁，他過(guò)去種植的甲品種楊梅，他過(guò)去種植的甲品種楊梅，畝產(chǎn)量受降雨量的影響較大（把握超過(guò)八成）.而乙品種楊梅2009～2018年的畝產(chǎn)量（/畝）與降雨量的發(fā)生頻數(shù)（年）如列聯(lián)表所示（部分?jǐn)?shù)據(jù)缺失）.請(qǐng)你幫助老李排解憂愁，他來(lái)年應(yīng)該種植哪個(gè)品種的楊梅受降雨量影響更��？

（完善列聯(lián)表，并說(shuō)明理由）.

畝產(chǎn)量\降雨量

合計(jì)

<600

2

1

合計(jì)

10

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.455

0.708

1.323

2.072

2.703

（參考公式：，其中）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知的三個(gè)頂點(diǎn)，，，其外接圓為.對(duì)于線段上的任意一點(diǎn)，

若在以為圓心的圓上都存在不同的兩點(diǎn)，使得點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則的半徑的取值范圍__________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若對(duì)任意實(shí)數(shù)，關(guān)于的方程：總有實(shí)數(shù)解，求的取值范圍；

（2）若，求使關(guān)于的方程：有三個(gè)實(shí)數(shù)解的的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，某幾何體的三視圖中，俯視圖是邊長(zhǎng)為2的正三角形，正視圖和左視圖分別為直角梯形和直角三角形，則該幾何體的體積為（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】基于移動(dòng)互聯(lián)技術(shù)的共享單車(chē)被稱(chēng)為“新四大發(fā)明”之一,短時(shí)間內(nèi)就風(fēng)靡全國(guó),帶給人們新的出行體驗(yàn).某共享單車(chē)運(yùn)營(yíng)公司的市場(chǎng)研究人員為了解公司的經(jīng)營(yíng)狀況,對(duì)該公司最近六個(gè)月內(nèi)的市場(chǎng)占有率進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),結(jié)果如下表:

月份

2017.8

2017.9

2017.10

2017.11

2017.12

2018.1

月份代碼x

1

2

3

4

5

6

市 場(chǎng)占有率y(%)

11

13

16

15

20

21

(1)請(qǐng)?jiān)诮o出的坐標(biāo)紙中作出散點(diǎn)圖;

(2)求y關(guān)于x的線性回歸方程,并預(yù)測(cè)該公司2018年2月份的市場(chǎng)占有率;

參考公式:回歸直線方程為 其中:,

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.

（1）確定的解析式；

（2）判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明；

（3）解關(guān)于的不等式.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某種植園在芒果臨近成熟時(shí)，隨機(jī)從一些芒果樹(shù)上摘下100個(gè)芒果，其質(zhì)量（單位：克）分別在，，，，，中，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得頻率分布直方圖如圖所示.

（1）現(xiàn)按分層抽樣從質(zhì)量為，的芒果中隨機(jī)抽取6個(gè)，再?gòu)倪@6個(gè)中隨機(jī)抽取3個(gè)，求這3個(gè)芒果中恰有1個(gè)在內(nèi)的概率；

（2）某經(jīng)銷(xiāo)商來(lái)收購(gòu)芒果，以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)代表這組數(shù)據(jù)的平均值，用樣本估計(jì)總體，該種植園中還未摘下的芒果大約還有10000個(gè)，經(jīng)銷(xiāo)商提出如下兩種收購(gòu)方案：

方案：所有芒果以10元/千克收購(gòu)；

方案：對(duì)質(zhì)量低于250克的芒果以2元/個(gè)收購(gòu)，高于或等于250克的以3元/個(gè)收購(gòu).

通過(guò)計(jì)算確定種植園選擇哪種方案獲利更多？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和滿(mǎn)足．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列是公比為4的等比數(shù)列，且，，也是等比數(shù)列，若數(shù)列單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若數(shù)列、都是等比數(shù)列，且滿(mǎn)足，試證明: 數(shù)列中只存在三項(xiàng)．

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