Question

【題目】已知定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足f′（x）+2f（x）= ，且f（1）= ，則不等式f（lnx）＞f（3）的解集為（ ）
A.（﹣∞，e3）
B.（0，e3）
C.（1，e3）
D.（e3 ， +∞）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：由題意f′（x）+2f（x）= ，即[e2x（x）]′=lnx+ ， 兩邊積分可知：e2x（x）=xlnx﹣x+ x+C，
∴f（x）= ，
由f（1）= ，代入解得：C= ，
∴f（x）= ，
求導(dǎo)f′（x）= ，由e2x＞0
令g（x）=﹣2xlnx+lnx+x﹣1，求導(dǎo)g′（x）=﹣2lnx+ ﹣1，
令g′（x）=0，解得：x=1，
當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=1時(shí)，f′（x）取最大值，最大值為0，
即f′（x）≤0恒成立，
∴f（x）= ，單調(diào)遞減，
∴由f（lnx）＞f（3），則0＜lnx＜3，
即1＜x＜e3 ，
故不等式的解集（1，e3），
故選：C．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減才能得出正確答案．