Question

【題目】設(shè)x，y∈R，向量 分別為直角坐標(biāo)平面內(nèi)x，y軸正方向上的單位向量，若向量 ， ，且 ．
（Ⅰ）求點(diǎn)M（x，y）的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓 ，P為曲線C上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作曲線C的切線y=kx+m交橢圓E于A、B兩點(diǎn)，試證：△OAB的面積為定值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵ ， ，且 ，
∴
∴點(diǎn)M（x，y）到兩個定點(diǎn)F1（- ，0），F(xiàn)2（ ，0）的距離之和為4
∴點(diǎn)M的軌跡C是以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓，
設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ，
a=2∴b2=a2﹣c2=1
其方程為
（Ⅱ）證明：設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
將y=kx+m代入橢圓E的方程，消去x可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0
顯然直線與橢圓C的切點(diǎn)在橢圓E內(nèi)，
∴△＞0，由韋達(dá)定理可得： ， ．
所以
因?yàn)橹本�y=kx+m與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，m），
所以△OAB的面積
=
設(shè)
將y=kx+m代入橢圓C的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0
由△=0，可得m2=1+4k2即t=1，
又因?yàn)? ，
故 為定值．
【解析】（Ⅰ）通過 ，得到 ，說明點(diǎn)M（x，y）到兩個定點(diǎn)F1（- ，0），F(xiàn)2（ ，0）的距離之和為4，推出點(diǎn)M的軌跡C是以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓，然后求解即可．（Ⅱ）設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），將y=kx+m代入橢圓E的方程，消去x可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0顯然直線與橢圓C的切點(diǎn)在橢圓E內(nèi)，利用判別式以及韋達(dá)定理求解三角形的面積，轉(zhuǎn)化求解即可．