已知橢圓過點，且離心率為.
（1）求橢圓的方程；
（2）為橢圓的左右頂點，點是橢圓上異于的動點，直線分別交直線于兩點.證明：以線段為直徑的圓恒過軸上的定點.
解：（1）由題意可知， ，  而，   且.      解得，
所以，橢圓的方程為.                                         
（2）由題可得.設(shè)，                                
直線的方程為，                                       
令，則，即；                  
直線的方程為，                                         
令，則，即；                  
證法一：設(shè)點在以線段為直徑的圓上，則，            
即，                                 
，
而，即，
，或.                             
所以以線段為直徑的圓必過軸上的定點或.          
證法二：以線段為直徑的圓為
                          
令，得，                         
∴，而，即，
∴，或.                               
所以以線段為直徑的圓必過軸上的定點或.           
解法3：令，則，令，得            
同理，.                                                     
∴以為直徑的圓為                                   
當時，或.
∴圓過                                              
令，   直線的方程為，                                         
令，則，即；                   
直線的方程為，
令，則，即；                  
∵   ∴在以為直徑的圓上.
同理，可知也在為直徑的圓上.  ∴定點為  
略
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分12分）已知橢圓過點A（a,0）,B(0,b)的直
線傾斜角為，原點到該直線的距離為.
（1）求橢圓的方程；
（2）斜率小于零的直線過點D（1，0）與橢圓交于M，N兩點，若求直線MN的方程；
（3）是否存在實數(shù)k，使直線交橢圓于P、Q兩點，以PQ為直徑的圓過點D（1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由。

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分12分）
已知橢圓經(jīng)過點，一個焦點是．
（I）求橢圓的方程；
（II）設(shè)橢圓與軸的兩個交點為、，不在軸上的動點在直線上運動，直線、分別與橢圓交于點、，證明：直線經(jīng)過焦點．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

設(shè)橢圓 1(m>0，n>0)的一個焦點與拋物線x2=4y的焦點相同，離心率為：則此橢圓的方程為(    )
A．B．C．D．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分12分）
已知橢圓方程為，射線（x≥0）與橢圓的交點為M，過M作傾斜角互補的兩條直線，分別與橢圓交于A、B兩點（異于M）．
（Ⅰ）求證直線AB的斜率為定值；
（Ⅱ）求△面積的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知A(1,1)是橢圓上一點,F1­,F2,是橢圓上的兩焦點,且滿足
(I)求橢圓方程; 
(Ⅱ)設(shè)C,D是橢圓上任兩點,且直線AC,AD的斜率分別為,若存在常數(shù)使，求直線CD的斜率.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

若過橢圓＝1內(nèi)一點(2,1)的弦被該點平分，則該弦所在直線的方程是______

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分13分）
已知過橢圓C：＋＝1（a＞b＞0）右焦點F且斜率為1的直線交橢圓C于A，B兩點，N為弦AB的中點；又函數(shù)圖象的一條對稱軸的方程是.
（1）求橢圓C的離心率e與直線AB的方程；
（2）對于任意一點M∈C，試證：總存在角θ（θ∈R）使等式+成立.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分12分）
已知點，橢圓的右準線與x軸相交于點D，右焦點F到上頂點的距離為
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在過點F且與x軸不垂直的直線與橢圓交于A、B兩點，使得？若存在，求出直線；若不存在，說明理由。

查看答案和解析>>

同步練習冊答案