【題目】已知數(shù)列的各項排成如圖所示的三角形數(shù)陣,數(shù)陣中每一行的第一個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列,是的前項和,且,.
(1)若數(shù)陣中從第3行開始每行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成公比為正數(shù)的等比數(shù)列,且公比相等,已知,求的值;
(2)設(shè),當時,對任意,不等式恒成立,求的取值范圍.
【答案】(1)160;(2)或.
【解析】
試題(I)由等差數(shù)列{bn}滿足b1=a1=1,S5=15.求出數(shù)列的公差后,可得數(shù)列的通項公式,結(jié)合數(shù)陣中從第三行開始每行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成公比為正數(shù)的等比數(shù)列,且公比相等,a9=16,可求出公比,進而求出a50的值;
(Ⅱ)由(1)求出Sn的表達式,利用裂項相消法求出Tn的表達式,進而將不等式恒成立問題,轉(zhuǎn)化為最值問題,利用導數(shù)法,可得答案.
試題解析:
(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,∵,,
∴,.
∴,
設(shè)從第3行起,每行的公比都是,且,,,.
,故是數(shù)陣中第10行的第5個數(shù).
故.
(2)∵,
∴
;
令,
則
當時,,在上為減函數(shù),
∴為遞減數(shù)列,的最大值為.
∴不等式變?yōu)?/span>恒成立,設(shè),,
則,即,解得或.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的前項和為,滿足,,數(shù)列滿足,,且.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)求證:數(shù)列是等差數(shù)列,求數(shù)列的通項公式;
(3)若,數(shù)列的前項和為,對任意的,都有,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】對甲、乙兩名自行車賽手在相同條件下進行了6次測試,測得他們的最大速度(單位:m/s)的數(shù)據(jù)如下:
甲 | 27 | 38 | 30 | 37 | 35 | 31 |
乙 | 33 | 29 | 38 | 34 | 28 | 36 |
(1)畫出莖葉圖,由莖葉圖你能獲得哪些信息?
(2)分別求出甲、乙兩名自行車賽手最大速度(m/s)數(shù)據(jù)的平均數(shù)、極差、方差,并判斷選誰參加比賽比較合適?
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【題目】如圖,橢圓的左、右焦點為,右頂點為,上頂點為,若, 與軸垂直,且.
(1)求橢圓方程;
(2)過點且不垂直于坐標軸的直線與橢圓交于兩點,已知點,當時,求滿足的直線的斜率的取值范圍.
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【題目】如圖所示,已知多面體的直觀圖(圖1)和它的三視圖(圖2),
(1)在棱上是否存在點,使得平面?若存在,求的值,并證明你的結(jié)論;若不存在,說明理由;
(2)求二面角的余弦值.
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【題目】微信是現(xiàn)代生活中進行信息交流的重要工具.據(jù)統(tǒng)計,某公司200名員工中的人使用微信,其中每天使用微信時間少于一小時的有60人,其余的員工每天使用微信時間不少于一小時,若將員工分成青年(年齡小于40歲)和中年(年齡不小于40歲)兩個階段,那么使用微信的人中是青年人.若規(guī)定:每天使用微信時間不少于一小時為經(jīng)常使用微信,那么經(jīng)常使用微信的員工中都是青年人.
(1)若要調(diào)查該公司使用微信的員工經(jīng)常使用微信與年齡的關(guān)系,完成列聯(lián)表:
青年人 | 中年人 | 合計 | |
經(jīng)常使用微信 | |||
不經(jīng)常使用微信 | |||
合計 |
(2)由列聯(lián)表中所得數(shù)據(jù)判斷,能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為“經(jīng)常使用微信與年齡有關(guān)”?
0.010 | 0.001 | |
6.635 | 10.828 |
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【題目】某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸,B原料2噸;生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸,B原料3噸.銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤5萬元,每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤3萬元.該企業(yè)在一個生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過13噸,B原料不超過18噸.
(1)列出甲、乙兩種產(chǎn)品滿足的關(guān)系式,并畫出相應的平面區(qū)域;
(2)在一個生產(chǎn)周期內(nèi)該企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各多少噸時可獲得利潤最大,最大利潤是多少?
(用線性規(guī)劃求解要畫出規(guī)范的圖形及具體的解答過程)
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