.(本題滿分14分)已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點O,焦點在X軸上,橢圓短半軸長為1,動點
在直線
上。
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
(2)求以線段OM為直徑且被直線
截得的弦長為2的圓的方程;
(3)設(shè)F是橢圓的右焦點,過點F作直線OM的垂線與以線段OM為直徑的圓交于點N,求證:線段ON的長為定值,并求出這個定值。
解(1)又由點M在準(zhǔn)線上,得
………2分
故
,
從而
所以橢圓方程為
……………4分
(2)以O(shè)M為直徑的圓的方程為
即
其圓心為
,半徑
……………6分
因為以O(shè)M為直徑的圓被直線
截得的弦長為2
所以圓心到直線
的距離
……………8分
所以
,解得
所求圓的方程為
……………10分
(3)方法一:設(shè)過點F作直線OM的垂線, 垂足為K,由平幾知:
直線OM:
,直線FN:
……12分
由
得
所以線段ON的長為定值
。
所以線段ON的長為定值
…………14分
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知橢圓
經(jīng)過點
,離心率為
.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)過定點
M(0,2)的直線
與橢圓交于不同的兩點
、
,且
為銳角(其中
為坐標(biāo)原點),求直線
的斜率
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
已知拋物線
的焦點恰好是橢圓
的右焦點
,且兩條曲線的交點連線也過焦點
,則橢圓的離心率為 ( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
設(shè)橢圓C:
(a〉b>0)的左焦點為
,橢圓過點P(
)
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知點D(l,0),直線l:
與橢圓C交于A、B兩點,以DA和DB為鄰邊的四邊形是菱形,求k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
橢圓
的焦點在
軸上,長軸長是短軸長的兩倍,則
的值為 ( )
A
B
C 2 D 4
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(13分)橢圓C:
長軸為8離心率
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過橢圓C內(nèi)一點M(2,1)引一條弦,使弦被點M平分,
求這條弦所在的直線方程。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
以橢圓的右焦點
為圓心作一個圓過橢圓的中心O并交橢圓于M、N,若過橢圓左焦點
的直線
是圓的切線,則橢圓的右準(zhǔn)線
與圓
的位置關(guān)系是_______________.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
P為橢圓
上一點,F(xiàn)
1、F
2是橢圓的左、右焦點,若使△F
1PF
2為直角三角形的點P共有8個,則橢圓離心率的取值范圍是
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