Question

【題目】已知函數(shù).

（1）作出函數(shù)的圖像；

（2）根據(jù)（1）所得圖像，填寫下面的表格：

性質	定義域	值域	單調(diào)性	奇偶性	零點

（3）關于的方程恰有6個不同的實數(shù)解，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）定義域，值域，在和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，偶函數(shù)，無零點；（3）.

【解析】

（1）利用分類討論求出分段函數(shù)后可得其圖象.

（2）根據(jù)（1）的圖象可得的單調(diào)區(qū)間、值域、奇偶性和零點情況.

（3）令，則有兩個不同的解和，且，，根據(jù)根的分布可求的取值范圍.

（1）.

當時，，

當時，，

當時，，

當時，，

故的圖象如圖所示：

（2）由（1）得函數(shù)的定義域為.

函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為和.

為偶函數(shù)，其值域為.

無零點.

填表如下：

性質	定義域	值域	單調(diào)性	奇偶性	零點
			增區(qū)間為和 減區(qū)間為和	偶函數(shù)	無

（3）令，

則且方程有2個不同的實根或4個不同的實根或無解，

因為方程恰有6個不同的實數(shù)解，

所以有兩個不同的解和，

且有兩個不同的解，有4個不同的解.

結合（1）中的圖象可知，，，

由韋達定理可知

故，所以.