【題目】已知橢圓C：.

（1）求橢圓C的離心率；

（2）設(shè)分別為橢圓C的左右頂點,點P在橢圓C上,直線AP,BP分別與直線相交于點M,N.當點P運動時,以M,N為直徑的圓是否經(jīng)過軸上的定點？試證明你的結(jié)論.

【答案】（1）（2）以為直徑的圓經(jīng)過軸上的定點和,證明見解析

【解析】

（1）先將轉(zhuǎn)化為,根據(jù)橢圓的性質(zhì)得到,即可求出離心率.

（2）根據(jù)橢圓方程求出,設(shè),則①,分別求出直線和的方程,再分別與相交于點 和,設(shè)以為直徑的圓經(jīng)過軸上的定點,則,即得②,將①代入②得

解得或,得出為直徑的圓是過定點和.

解：（1）由得,

那么

所以

解得,所以離心率

（2）由題可知,

設(shè),則①

直線的方程：

令,得,從而點坐標為

直線的方程：

令,得,從而點坐標為

設(shè)以為直徑的圓經(jīng)過軸上的定點,則

由得②

由①式得,代入②得

解得或

所以為直徑的圓經(jīng)過軸上的定點和.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某城市對一項惠民市政工程滿意程度（分值：分）進行網(wǎng)上調(diào)查，有2000位市民參加了投票，經(jīng)統(tǒng)計，得到如下頻率分布直方圖（部分圖）：

現(xiàn)用分層抽樣的方法從所有參與網(wǎng)上投票的市民中隨機抽取位市民召開座談會，其中滿意程度在的有5人．

（1）求的值，并填寫下表（2000位參與投票分數(shù)和人數(shù)分布統(tǒng)計）；

滿意程度（分數(shù)）

人數(shù)

（2）求市民投票滿意程度的平均分（各分數(shù)段取中點值）；

（3）若滿意程度在的5人中恰有2位為女性，座談會將從這5位市民中任選兩位發(fā)言，求男性甲或女性乙被選中的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若，求曲線在點處的切線方程；

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）若且，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，．

（1）求在點處的切線；

（2）研究函數(shù)的單調(diào)性，并求出極值；

（3）求證：．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】直線與圓相交于兩點,當的面積達到最大時,________.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若，求的零點個數(shù)；

（2）證明：，.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）若曲線在點處的切線與直線平行，求的方程；

（2）若，函數(shù)在上為增函數(shù)，求證：.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，在四棱錐中，四邊形為矩形，為等腰三角形，，平面平面，且，，，分別為，的中點.

（1）證明：平面；

（2）證明：平面平面；

（3）求四棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）若是的極大值點，求的取值范圍；

（2）當，時，方程（其中）有唯一實數(shù)解，求的值.

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