【題目】已知函數(shù)f(x)=x3﹣3x
(1)討論f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)g(x)=f(x)﹣m在[﹣ ,3]上有三個零點,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)函數(shù)h(x)=ex﹣ex+4n2﹣2n(e為自然對數(shù)的底數(shù)),如果對任意的x1 , x2∈[ ,2],都有f(x1)≤h(x2)恒成立,求實數(shù)n的取值范圍.

【答案】
(1)解:f(x)的定義域為R,f′(x)=3x2﹣3=3(x+1)(x﹣1).

因為當(dāng)x<﹣1或x>1時,f′(x)>0;當(dāng)﹣1<x<1時,f′(x)<0;

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(﹣∞,﹣1)和(1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(﹣1,1)


(2)解:要使函數(shù)g(x)=f(x)﹣m在[- ,3]上有三個零點,就是要方程f(x)﹣m=0在[- ,3]上有三個實根,也就是只要函數(shù)y=f(x)和函數(shù)y=m的圖像在[﹣ ,3]上有三個不同的交點.

由(1)知,f(x)在(﹣∞,﹣1)和(1,+∞)上單調(diào)遞增,在(﹣1,1)上單調(diào)遞減;

所以f(x)在x=﹣1處取得極大值f(﹣1)=2,在x=1處取得極小值f(1)=﹣2.

又f(- )= ,f(3)=18.

故實數(shù)m的取值范圍為


(3)解:對任意的 ,都有f(x1)≤h(x2)恒成立,等價于當(dāng) 時,f(x)max≤h(x)min成立.

由(1)知,f(x)在[ ,1]上單調(diào)遞減,在[1,2]上單調(diào)遞增,且 ,f(2)=2,所以f(x)在[ ,2]上的最大值f(x)max=2.

又h′(x)=ex﹣e,令h′(x)=0,得x=1.

因為當(dāng)x<1時,h′(x)<0;當(dāng)x>1時,h′(x)>0;所以h(x)在[ ,1]上單調(diào)遞減,在[1,2]上單調(diào)遞增;故h(x)在[ ,2]上的最小值h(x)min=h(1)=4n2﹣2n.

所以4n2﹣2n≥2,解得 或n≥1,故實數(shù)n的取值范圍是(﹣∞,﹣ ]∪[1,+∞)


【解析】(1)直接求導(dǎo)數(shù),然后解不等式可得原函數(shù)的增減區(qū)間;(2)利用數(shù)形結(jié)合,將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f(x)與y=m的交點問題,只需利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)y=f(x)的極值、最值即可;(3)因為h(x)與f(x)是兩個不同的函數(shù),所以該不等式恒成立只需f(x)max≤h(x)min即可.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】現(xiàn)有甲、乙兩個靶.某射手向甲靶射擊一次,命中的概率為 ,命中得1分,沒有命中得0分;向乙靶射擊兩次,每次命中的概率為 ,每命中一次得2分,沒有命中得0分.該射手每次射擊的結(jié)果相互獨立.假設(shè)該射手完成以上三次射擊. (Ⅰ)求該射手恰好命中一次得的概率;
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A.20
B.25
C.30
D.35

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907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
據(jù)此估計,該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為( )
A.0.35
B.0.25
C.0.20
D.0.15

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(1)(i)求C的方程;
(ii)求證:C1與C相似;
(2)過B1點任作一直線,自下至上依次與C1、x軸的正半軸、C交于不同的四個點P,Q,R,S,求 的取值范圍.

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