Question

【題目】如圖，已知橢圓C： ，點(diǎn)A,B分別是左、右頂點(diǎn)，過右焦點(diǎn)F的直線MN（異于x軸）交于橢圓C于M、N兩點(diǎn).

（1）若橢圓C過點(diǎn)，且右準(zhǔn)線方程為，求橢圓C的方程；

（2）若直線BN的斜率是直線AM斜率的2倍，求橢圓C的離心率.

Answer 1

【答案】(1) 或;(2) .

【解析】試題分析:（1）根據(jù)曲線上的點(diǎn)和右準(zhǔn)線方程寫出橢圓方程;（2）設(shè)， ，則， ， ；因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，所以，聯(lián)立方程消元,根據(jù)韋達(dá)定理可得，又,進(jìn)而求得離心率.

試題解析:（1）因?yàn)闄E圓過點(diǎn)，所以，

又已知右準(zhǔn)線方程為，所以， ，

可解得， ；或， ；

所以橢圓的方程為或．

（2）設(shè)， ，則， ， ；

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，

所以，

設(shè)直線： ，與橢圓： 聯(lián)立方程組消去得

，

，

將， 代入上式化簡(jiǎn)得

，又；所以，

得，即，解得或，

又，所以，即橢圓的離心率為．

點(diǎn)睛:本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的問題,其中過焦點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為通徑. 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系從幾何角度看：當(dāng)直線與雙曲線的漸進(jìn)線平行時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)直線與拋物線的對(duì)稱軸平行或重合時(shí)，直線與拋物線也只有一個(gè)交點(diǎn).從代數(shù)角度看：設(shè)直線L的方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立得到.若=0，當(dāng)圓錐曲線是雙曲線時(shí)，直線L與雙曲線的漸進(jìn)線平行或重合;當(dāng)圓錐曲線是拋物線時(shí)，直線L與拋物線的對(duì)稱軸平行或重合.若，設(shè). 時(shí)，直線和圓錐曲線相交于不同兩點(diǎn)，相交. 時(shí)，直線和圓錐曲線相切于一點(diǎn)，相切. 時(shí)，直線和圓錐曲線沒有公共點(diǎn)，相離.