Question

【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 并且滿足2Sn=an2+n，an＞0（n∈N*）．
（1）求a1 ， a2 ， a3；
（2）猜想{an}的通項(xiàng)公式，并加以證明；
（3）設(shè)x＞0，y＞0，且x+y=1，證明： ≤ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：分別令n=1，2，3，得

∵an＞0，∴a1=1，a2=2，a3=3．

（2）證法一：猜想：an=n，

由2Sn=an2+n①

可知，當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn﹣1=an﹣12+（n﹣1）②

①﹣②，得2an=an2﹣an﹣12+1，即an2=2an+an﹣12﹣1．

1）當(dāng)n=2時(shí)，a22=2a2+12﹣1，∵a2＞0，∴a2=2；

2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)，ak=k．那么當(dāng)n=k+1時(shí)，

ak+12=2ak+1+ak2﹣1=2ak+1+k2﹣1[ak+1﹣（k+1）][ak+1+（k﹣1）]=0，

∵ak+1＞0，k≥2，

∴ak+1+（k﹣1）＞0，

∴ak+1=k+1．這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)也成立，

∴an=n（n≥2）．顯然n=1時(shí)，也適合．

故對(duì)于n∈N*，均有an=n．

證法二：猜想：an=n，

1）當(dāng)n=1時(shí)，a1=1成立；

2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，ak=k．

那么當(dāng)n=k+1時(shí)，2Sk+1=ak+12+k+1．∴2（ak+1+Sk）=ak+12+k+1，

∴ak+12=2ak+1+2Sk﹣（k+1）=2ak+1+（k2+k）﹣（k+1）=2ak+1+（k2﹣1）

（以下同證法一）

（3）證法一：要證 ≤ ，

只要證 ≤2（n+2），

即n（x+y）+2+ ≤2（n+2），

將x+y=1代入，得 ≤n+2，

即要證4（n2xy+n+1）≤（n+2）2，即4xy≤1．

∵x＞0，y＞0，且x+y=1，∴ ≤ ，

即xy≤ ，故4xy≤1成立，所以原不等式成立．

證法二：∵x＞0，y＞0，且x+y=1，∴ ≤ ①

當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取“=”號(hào)．

∴ ≤ ②

當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取“=”號(hào)．

① +②，得（ ） ≤ =n+2，

當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取“=”號(hào)．

∴ ≤ ．

證法三：可先證 ≤ ．

∵ ， ，a+b≥ ，

∴2a+2b≥ ，

∴ ≥ ，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)．

令a=nx+1，b=ny+1，即得： ≤ = ，

當(dāng)且僅當(dāng)nx+1=ny+1即 時(shí)取等號(hào)

【解析】（1）分別令n=1，2，3，列出方程組，能夠求出求a1 ， a2 ， a3；（2）證法一：猜想：an=n，由2Sn=an2+n可知，當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn﹣1=an﹣12+（n﹣1），所以an2=2an+an﹣12﹣1再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明；證法二：猜想：an=n，直接用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．（3）證法一：要證 ≤ ，只要證n（x+y）+2+ ≤2（n+2），將x+y=1代入，得 ≤n+2，即要證4xy≤1．由均值不等式知4xy≤1成立，所以原不等式成立．
證法二：由題設(shè)知 ≤ ， ≤ ，所以（ ） ≤ =n+2，由此可導(dǎo)出 ≤ ．
證法三：先證 ≤ ，然后令a=nx+1，b=ny+1，即得： ≤ = ．