Question

【題目】圖一是美麗的“勾股樹”，它是一個(gè)直角三角形分別以它的每一邊向外作正方形而得到．圖二是第1代“勾股樹”，重復(fù)圖二的作法，得到圖三為第2代“勾股樹”，以此類推，已知最大的正方形面積為1，則第代“勾股樹”所有正方形的個(gè)數(shù)與面積的和分別為（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

第1代“勾股樹”中，小正方形的個(gè)數(shù)3＝21+1﹣1＝3，所有正方形的面積之和為2＝（1+1）×1，第2代“勾股樹”中，小正方形的個(gè)數(shù)7＝22+1﹣1，所有的正方形的面積之和為3＝（2+1）×1，以此類推，第n代“勾股樹”所有正方形的個(gè)數(shù)為2n+1﹣1，第n代“勾股樹”所有正方形的面積的和為：（n+1）×1＝n+1．

解：第1代“勾股樹”中，小正方形的個(gè)數(shù)3＝21+1﹣1＝3，

如圖（2），設(shè)直角三角形的三條邊長分別為a，b，c，

根據(jù)勾股定理得a2+b2＝c2，

即正方形A的面積+正方形B的面積＝正方形C的面積＝1，

所有正方形的面積之和為2＝（1+1）×1，

第2代“勾股樹”中，小正方形的個(gè)數(shù)7＝22+1﹣1，

如圖（3），正方形E的面積+正方形F的面積＝正方形A的面積，

正方形M的面積+正方形N的面積＝正方形B的面積，

正方形E的面積+正方形F的面積+正方形M的面積+正方形N的面積＝正方形A的面積+正方形B的面積＝正方形C的面積＝1，

所有的正方形的面積之和為3＝（2+1）×1，

…

以此類推，第n代“勾股樹”所有正方形的個(gè)數(shù)為2n+1﹣1，

第n代“勾股樹”所有正方形的面積的和為：（n+1）×1＝n+1．

故選：A．