Question

在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB＝AA₁，D、E分別是棱A₁B₁、AA₁的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱AB上，且．
（1）求證：EF∥平面BDC₁；  
（2）求證：平面．

Answer 1

證明見解析.

試題分析：（1）要證線面平行，就是要在平面內(nèi)找一條直線與直線平行，本題中容易看出就是要證明　，而這個(gè)在四邊形中只要取中點(diǎn)，可證明即得；（2）要證平面，根據(jù)線面垂直的判定定理，就是要證與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，觀察已知條件，正三棱柱的側(cè)面是正方形，因此有，下面還要找一條垂線，最好在，中找一條，在平面中，由平面幾何知識(shí)易得，又由正三棱柱的性質(zhì)可得平面，從而，因此有平面，即有，于是結(jié)論得證.
（1）證明：取的中點(diǎn)M，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824052656904539.png" style="vertical-align:middle;" />，所以為的中點(diǎn)，
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824052657450311.png" style="vertical-align:middle;" />為的中點(diǎn)，所以，      2分
在正三棱柱中，分別為的中點(diǎn)，
所以，且，則四邊形A₁DBM為平行四邊形，

所以，所以，                         5分
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824052657684418.png" style="vertical-align:middle;" />平面，平面，所以，平面          7分
（2）連接，因?yàn)樵谡�三�?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824052657809529.png" style="vertical-align:middle;" />中，為的中點(diǎn)，
所以，，所以，在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，面，
所以，，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824052657934509.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，四邊形為正方形，由分別為的中點(diǎn)，所以，可證得，
所以，面，即，        11分
又因?yàn)樵谡�方�?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824052658074477.png" style="vertical-align:middle;" />中，，所以面,             14分