Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若存在最大值，證明：；

（2）函數(shù)，且只有一個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍，并證明：

Answer 1

【答案】(1) 證明見(jiàn)解析(2) ,證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分的范圍討論函數(shù)是否有最大值，并且在有最大值時(shí)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求（a）的最小值等于零即可；

（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，且只有一個(gè)根，且定義域內(nèi)根的兩邊區(qū)間的符合相反，求出根，并證明的最小值大于等于即可．

解：（1）由題意：，

當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)單調(diào)遞增，無(wú)最大值；

當(dāng)，在單調(diào)遞增，，上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)在最大值為，

所以，

下面證明，即證：，令， ，

所以在，單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

所以，所以，證畢．

（2），所以，設(shè)，，

①當(dāng)時(shí)，令，解得，，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，

若，恒成立，無(wú)極值；

若，，而，，此時(shí)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)：

故不符合題意

②時(shí)，，，單調(diào)遞減，，，單調(diào)遞增，

所以函數(shù)有唯一的極小值點(diǎn)，；

③當(dāng)，恒成立，單調(diào)遞增，取滿足，且時(shí)，，而，此時(shí)又零點(diǎn)存在定理知：有唯一的零點(diǎn)，只有一個(gè)極值點(diǎn)，且，由題知，又，

，

，

設(shè)，

，當(dāng)，， 單調(diào)遞減，

，

成立，

綜上：函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)取值范圍，，且．