【題目】設函數(shù)f(x)=|ax-x2|+2b(a,bR).

(1)b=0,若不等式f(x)2xx[0,2]上恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;

(2)已知a為常數(shù),且函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上存在零點求實數(shù)b的取值范圍

【答案】(1)[0,2];(2)見解析

【解析】試題分析:(1)不等式恒成立問題,一般利用變量分離轉化為對應函數(shù)最值問題:恒成立,即,即得實數(shù)a的取值范圍;(2)先分離轉化為對應函數(shù)交點問題:x|ax|=-2b,根據a與[0,2]位置關系分類討論,確定函數(shù)y=x|ax|圖像,再根據函數(shù)最大值與對稱軸位置關系進行二級討論,最終確定b的取值范圍

試題解析:(1)當b=0時,若不等式x|a-x|2x在x∈[0,2]上恒成立;

當x=0時,不等式恒成立則a∈R;

當0<x2則|ax|2在(0,2]上恒成立,即-2xa2在(02]上恒成立,

因為yxa在(0,2]上單調增ymax=2-a,ymin>-a,,解得:0a2;

則實數(shù)a的取值范圍為[0,2];

(2)函數(shù)f(x)在[0,2]上存在零點,即方程x|ax|=-2b在[0,2]上有解;

h(x)=

a0時h(x)=x2ax,x∈[02],h(x)在[0,2]上單調遞增,所以h(x)minh(0)=0h(x)maxh(2)=4-2a,則當0-2b4-2a,原方程有解,a-2b0;

a>0時,h(x)=,h(x)在上單調增上單調減,在[a,+∞)上單調增;

①當2,a4時,h(x)maxh(2)=2a-4,h(x)minh(0)=0,

則當0-2b2a-4時,原方程有解則2-ab0;

②當<2a,即2a<4時,h(x)maxh,h(x)minh(0)=0,則當0-2b,原方程有解,則-b0;

③當0<a<2時h(x)max=max=max,h(x)minh(0)=0,

4-2a,即-4+4a<2時,h(x)max,則當0-2b原方程有解則-b0;

<4-2a,即0<a<-4+4,h(x)max=4-2a,則當0-2b4-2a原方程有解,a-2b0;

綜上a<-4+4,實數(shù)b的取值范圍為[a-2,0];

當-4+4a<4時實數(shù)b的取值范圍為;

a4時,實數(shù)b的取值范圍為.

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x

3

4

5

6

y

2.5

3

4

4.5

(1)請畫出上表數(shù)據的散點圖.

(2)請根據上表提供的數(shù)據,用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程.

(3)已知該廠技改前100噸甲產品的生產能耗為90噸標準煤.試根據(2)求出的線性回歸方程,預測生產100噸甲產品的生產能耗比技改前降低多少噸標準煤.

(參考數(shù)值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5)

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