【題目】已知點A,B的坐標(biāo)分別是(,0),(,0),動點M(x,y)滿足直線AM和BM的斜率之積為﹣3,記M的軌跡為曲線E.
(1)求曲線E的方程;
(2)直線y=kx+m與曲線E相交于P,Q兩點,若曲線E上存在點R,使得四邊形OPRQ為平行四邊形(其中O為坐標(biāo)原點),求m的取值范圍.
【答案】(1),(y≠0);(2)(﹣∞,]∪[,+∞).
【解析】
(1)根據(jù)題意得kAMkBM3,(y≠0),化簡可得曲線E的方程.
(2))設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),聯(lián)立直線與曲線E的方程,得關(guān)于x的一元二次方程,結(jié)合韋達(dá)定理得x1+x2,y1+y2,△>0①,根據(jù)題意得PQ的中點也是OR的中點,得R點的坐標(biāo),再代入曲線E的方程,得2m2=k2+3②,將②代入①得m的取值范圍.
解:(1)kAMkBM3,(y≠0)
化簡得曲線E的方程:.(y≠0)
(2)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2)
聯(lián)立,得(3+k2)x2+2kmx+m2﹣6=0,
x1+x2,y1+y2=k(x1+x2)+2m,
△=(2km)2﹣4×(3+k2)(m2﹣6)=﹣12m2+24k2+72>0,即﹣m2+2k2+6>0,①
若四邊形OPRQ為平行四邊形,則PQ的中點也是OR的中點,
所以R點的坐標(biāo)為(,),
又點R在曲線E上得,化簡得2m2=k2+3②
將②代入①得,m2>0,所以m≠0,由②得2m2≥3,所以m或m
所以m的取值范圍為(﹣∞,]∪[,+∞).
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【題目】極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系有相同的長度單位,以原點為極點,以軸正半軸為極軸,曲線的極坐標(biāo)方程為,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù),),射線,,與曲線交于(不包括極點)三點,,.
(1)求證:;
(2)當(dāng)時,,兩點在曲線上,求與的值.
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【題目】已知傾斜角為的直線經(jīng)過拋物線的焦點,與拋物線相交于、兩點,且.
(1)求拋物線的方程;
(2)求過點且與拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的方程.
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【題目】已知為等比數(shù)列,其前項和為,且滿足,.為等差數(shù)列,其前項和為,如圖_____,的圖象經(jīng)過兩個點.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)若存在正整數(shù),使得,求的最小值.從圖①,圖②,圖③中選擇一個適當(dāng)?shù)臈l件,補(bǔ)充在上面問題中并作答.
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【題目】已知命題的展開式中,僅有第7項的二項式系數(shù)最大,則展開式中的常數(shù)項為495;命題隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,且,則.現(xiàn)給出四個命題:①,②,③,④,其中真命題的是( )
A.①③B.①④C.②③D.②④
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【題目】“搜索指數(shù)”是網(wǎng)民通過搜索引擎,以每天搜索關(guān)鍵詞的次數(shù)為基礎(chǔ)所得到的統(tǒng)計指標(biāo).“搜索指數(shù)”越大,表示網(wǎng)民對該關(guān)鍵詞的搜索次數(shù)越多,對該關(guān)鍵詞相關(guān)的信息關(guān)注度也越高.下圖是2019年9月到2020年2月這半年中,某個關(guān)鍵詞的搜索指數(shù)變化的走勢圖.
根據(jù)該走勢圖,下列結(jié)論不正確的是( ).
A.這半年中,網(wǎng)民對該關(guān)鍵詞相關(guān)的信息關(guān)注度與時間具有比較明顯的線性相關(guān)性
B.2019年10月網(wǎng)民對該關(guān)鍵詞的搜索指數(shù)變化的走勢圖具有較好的對稱性,與正態(tài)曲線相近,故當(dāng)月搜索指數(shù)的平均值約為29000
C.從網(wǎng)民對該關(guān)鍵詞的搜索指數(shù)來看,2019年10月的方差小于11月的方差
D.從網(wǎng)民對該關(guān)鍵詞的搜索指數(shù)來看,2019年12月的平均值大于2020年1月的平均值
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【題目】某社區(qū)消費者協(xié)會為了解本社區(qū)居民網(wǎng)購消費情況,隨機(jī)抽取了100位居民作為樣本,就最近一年來網(wǎng)購消費金額(單位:千元),網(wǎng)購次數(shù)和支付方式等進(jìn)行了問卷調(diào)査.經(jīng)統(tǒng)計這100位居民的網(wǎng)購消費金額均在區(qū)間內(nèi),按,,,,,分成6組,其頻率分布直方圖如圖所示.
(1)估計該社區(qū)居民最近一年來網(wǎng)購消費金額的中位數(shù);
(2)將網(wǎng)購消費金額在20千元以上者稱為“網(wǎng)購迷”,補(bǔ)全下面的列聯(lián)表,并判斷有多大把握認(rèn)為“網(wǎng)購迷與性別有關(guān)系”;
男 | 女 | 合計 | |
網(wǎng)購迷 | 20 | ||
非網(wǎng)購迷 | 45 | ||
合計 | 100 |
(3)調(diào)査顯示,甲、乙兩人每次網(wǎng)購采用的支付方式相互獨立,兩人網(wǎng)購時間與次數(shù)也互不. 影響.統(tǒng)計最近一年來兩人網(wǎng)購的總次數(shù)與支付方式,所得數(shù)據(jù)如下表所示:
網(wǎng)購總次數(shù) | 支付寶支付次數(shù) | 銀行卡支付次數(shù) | 微信支付次數(shù) | |
80 | 40 | 16 | 24 | |
乙 | 90 | 60 | 18 | 12 |
將頻率視為概率,若甲、乙兩人在下周內(nèi)各自網(wǎng)購2次,記兩人采用支付寶支付的次數(shù)之和為,求的數(shù)學(xué)期望.
附:觀測值公式:
臨界值表:
0.01 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),曲線C2的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點.x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(Ⅰ)求曲線C1的普通方程和曲線C2的極坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)射線與曲線C2交于O,P兩點,射線與曲線C1交于點Q,若△OPQ的面積為1,求|OP|的值.
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