如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=
2
AA1，D是A1B1的中點，點E在A1C1上，且DE⊥AE．
（1）證明：平面ADE⊥平面ACC1A1
（2）求直線AD和平面ABC1所成角的正弦值．
（1）如圖所示，由正三棱柱ABC-A1B1C1的性質(zhì)知AA1⊥平面A1B1C1
又DE?平面A1B1C1，所以DE⊥AA1．
而DE⊥AE．AA1∩AE=A所以DE⊥平面ACC1A1，
又DE?平面ADE，故平面ADE⊥平面ACC1A1．

（2）如圖所示，設F是AB的中點，連接DF、DC、CF，
由正三棱柱ABC-A1B1C1的性質(zhì)及D是A1B的中點知A1B1⊥C1D，
A1B1⊥DF又C1D∩DF=D，所以A1B1⊥平面C1DF，
而AB∥A1B1，所以
AB⊥平面C1DF，又AB?平面ABC1，故
平面ABC1⊥平面C1DF．
過點D做DH垂直C1F于點H，則DH⊥平面ABC1．
連接AH，則∠HAD是AD和平面ABC1所成的角．
由已知AB=
2
AA1，不妨設AA1=
2
，則AB=2，DF=
2
，DC1=
3
，
C1F=
5
，AD=
A
A21
+AD2
=
3
，DH=
DF•DC1
C1F
=
2
×
3
5
=
30
5
，
所以sin∠HAD=
DH
AD
=
10
5
．
即直線AD和平面ABC1所成角的正弦值為
10
5
．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐P ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)棱,,底面為直角梯形，其中BC∥AD, AB⊥AD, ,O為AD中點.

(1)求直線與平面所成角的余弦值；
(2)求點到平面的距離；
(3)線段上是否存在一點，使得二面角的余弦值為？若存在,求出的值；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

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（Ⅰ）求證：PC⊥平面BDE；
（Ⅱ）若點Q是線段PA上任一點，求證：BD⊥DQ；
（Ⅲ）求線段PA上點Q的位置，使得PC∥平面BDQ．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

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（Ⅰ）在線段BE上是否存在一點F，使CF∥平面ADE？
（Ⅱ）求證：平面ADE⊥平面ABE；
（Ⅲ）求二面角A-DE-B的正切值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD．請指出圖中所有互相垂直的平面，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，點D是AB的中點．
（1）求證：BC1∥平面CA1D；
（2）求證：平面CA1D⊥平面AA1B1B．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，側(cè)面PAB是等邊三角形，且側(cè)面PAB⊥底面ABCD，
（1）求證：BC⊥側(cè)面PAB；
（2）求證：側(cè)面PAD⊥側(cè)面PAB．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，PA⊥面ABCD，E是AB的中點，F(xiàn)是PC的中點．
（Ⅰ）求證：面PDE⊥面PAB；
（Ⅱ）求證：BF∥面PDE．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

在空間坐標系中的點M（x，y，z），若它的柱坐標為(3，
π
3
，3)，則它的球坐標為（　�。�
A．(3，
π
3
，
π
4
)		B．(3
2
，
π
3
，
π
4
)		C．(3，
π
4
，
π
3
)		D．(3
2
，
π
4
，
π
3
)

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