已知一直線l經(jīng)過原點(diǎn)且與曲線y=x3-3x2+2x相切，試求直線l的方程．
分析：設(shè)切點(diǎn)為（x0，y0），則y0=x03-3x02+2x0，由于直線l經(jīng)過原點(diǎn)，故等式的兩邊同除以x0即得切線的斜率，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在點(diǎn)x0處的切線斜率，便可建立關(guān)于x0的方程．在兩邊同除以x0時(shí)，要注意對(duì)x0是否為0進(jìn)行討論．
解答：解：設(shè)直線l：y=kx．∵y′=3x2-6x+2，∴y′|x=0=2，
又∵直線與曲線均過原點(diǎn)，于是直線y=kx與曲線y=x3-3x2+2相切于原點(diǎn)時(shí)，k=2．
若直線與曲線切于點(diǎn)（x0，y0）（x0≠0），則k=
y0
x0
，∵y0=x03-3x02+2x0，
∴
y0
x0
=x02-3x0+2，
又∵k=y′|_x=x0=3x02-6x0+2，
∴x02-3x0+2=3x02-6x0+2，∴2x02-3x0=0，
∵x0≠0，∴x0=
3
2
，∴k=x02-3x0+2=-
1
4
，
故直線l的方程為y=2x或y=-
1
4
x．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，以及直線方程和切線問題，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線過原點(diǎn)，且兩條漸近線與以點(diǎn)A(0，
2
)為圓心，1為半徑的圓相切，雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)與點(diǎn)A關(guān)于直線y=x對(duì)稱．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線y=mx+1與雙曲線C的左支交于A，B兩點(diǎn)，另一直線l經(jīng)過M（-2，0）和線段AB的中點(diǎn)，求直線l在y軸上截距b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線過坐標(biāo)原點(diǎn)，且兩條漸近線與以點(diǎn)A(0，
2
)為圓心，1為半徑的圓相切，又知C的一個(gè)焦點(diǎn)與A關(guān)于直線y=x對(duì)稱．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線y=mx+1與雙曲線C的左支交于A，B兩點(diǎn)，另一直線l經(jīng)過M（-2，0）及AB的中點(diǎn)，求直線l在y軸上的截距b的取值范圍；
（Ⅲ）若Q是雙曲線C上的任一點(diǎn)，F(xiàn)1F2為雙曲線C的左，右兩個(gè)焦點(diǎn)，從F1引∠F1QF2的平分線的垂線，垂足為N，試求點(diǎn)N的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線過坐標(biāo)原點(diǎn)，且兩條漸近線與以點(diǎn)A(0，
2
)為圓心，1為半徑為圓相切，又知C的一個(gè)焦點(diǎn)與A關(guān)于直線y=x對(duì)稱．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若Q是雙曲線C上的任一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為雙曲線C的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，從F1引∠F1QF2的平分線的垂線，垂足為N，試求點(diǎn)N的軌跡方程；
（3）設(shè)直線y=mx+1與雙曲線C的左支交于A、B兩點(diǎn)，另一直線L經(jīng)過M（-2，0）及AB的中點(diǎn)，求直線L在y軸上的截距b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)必備（第100-102課時(shí)）：第十三章 導(dǎo)數(shù)-導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（3）（解析版） 題型：解答題

已知一直線l經(jīng)過原點(diǎn)且與曲線y=x3-3x2+2x相切，試求直線l的方程．

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