Question

已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且兩條漸近線與以點(diǎn)A(0，

2

)為圓心，1為半徑的圓相切，又知C的一個(gè)焦點(diǎn)與A關(guān)于直線y=x對(duì)稱．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線y=mx+1與雙曲線C的左支交于A，B兩點(diǎn)，另一直線l經(jīng)過(guò)M（-2，0）及AB的中點(diǎn)，求直線l在y軸上的截距b的取值范圍；
（Ⅲ）若Q是雙曲線C上的任一點(diǎn)，F(xiàn)₁F₂為雙曲線C的左，右兩個(gè)焦點(diǎn)，從F₁引∠F₁QF₂的平分線的垂線，垂足為N，試求點(diǎn)N的軌跡方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)雙曲線C的漸近線方程為y=kx，則kx-y=0，由該直線與圓x2+(y-

2

)2=1相切，知雙曲線C的兩條漸近線方程為y=±x．由此利用雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)為 (

2

，0)，能求出雙曲線C的方程．
（Ⅱ）由

y=mx+1 x2-y2=1

，得（1-m²）x²-2mx-2=0．令f（x）=（1-m²）x²-2mx-2．直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，等價(jià)于方程f（x）=0在（-∞，0）上有兩個(gè)不等實(shí)根．由此能求出直線l在y軸上的截距b的取值范圍．
（Ⅲ）若Q在雙曲線的右支上，則延長(zhǎng)QF₂到T，使|QT|=|QF₁|，若Q在雙曲線的左支上，則在QF₂上取一點(diǎn)T，使|QT|=|QF₁|．由此能求出點(diǎn)N的軌跡方程．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)雙曲線C的漸近線方程為y=kx，
則kx-y=0
∵該直線與圓x2+(y-

2

)2=1相切，
∴雙曲線C的兩條漸近線方程為y=±x．
故設(shè)雙曲線C的方程為

x2

a2

-

y2

a2

=1．
又雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)為 (

2

，0)
∴2a²=2，a²=1．
∴雙曲線C的方程為x²-y²=1．
（Ⅱ）由

y=mx+1 x2-y2=1

得（1-m²）x²-2mx-2=0．
令f（x）=（1-m²）x²-2mx-2
直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，等價(jià)于方程f（x）=0在（-∞，0）上有兩個(gè)不等實(shí)根．
因此

△＞0 2m 1-m2 ＜0 -2 1-m2 ＞0

解得1＜m＜

2

．
又AB中點(diǎn)為(

m

1-m2

，

1

1-m2

)，
∴直線l的方程為y=

1

-2m2+m+2

(x+2)．
令x=0，
得b=

2

-2m2+m+2

=

2

-2(m- 1 4 )2+ 17 8

．
∵m∈(1，

2

)，
∴-2(m-

1

4

)2+

17

8

∈(-2+

2

，1)
∴b∈(-∞，-2-

2

)∪(2，+∞)．
（Ⅲ）若Q在雙曲線的右支上，
則延長(zhǎng)QF₂到T，使|QT|=|QF₁|，
若Q在雙曲線的左支上，
則在QF₂上取一點(diǎn)T，使|QT|=|QF₁|．
根據(jù)雙曲線的定義|TF₂|=2，
所以點(diǎn)T在以F2(

2

，0)為圓心，2為半徑的圓上，
即點(diǎn)T的軌跡方程是(x-

2

)2+y2=4(x≠0)①
由于點(diǎn)N是線段F₁T的中點(diǎn)，
設(shè)N（x，y），T（x_T，y_T）．
則

x= xT- 2 2 y= yT 2

，即

xT=2x+ 2 yT=2y

．
代入①并整理得點(diǎn)N的軌跡方程為x²+y²=1.(x≠-

2

2

)

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．