Question

已知焦點在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線過原點，且兩條漸近線與以點A(0，

2

)為圓心，1為半徑的圓相切，雙曲線C的一個焦點與點A關于直線y=x對稱．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）設直線y=mx+1與雙曲線C的左支交于A，B兩點，另一直線l經過M（-2，0）和線段AB的中點，求直線l在y軸上截距b的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）設出雙曲線的漸近線方程，寫出圓的方程，利用直線與圓相切的充要條件：圓心到切線的距離等于半徑列出關于斜率的方程，求出漸近線斜率，根據漸近線的斜率判斷出是等軸雙曲線，根據雙曲線三個參數的關系求出雙曲線方程
（II）將直線方程與雙曲線的方程聯立消去y得到關于x的二次方程，利用韋達定理求出兩個交點橫坐標的和及積，令和小于0積大于0求出m的范圍，同時求出兩個交點中點的坐標，利用兩點式求出另一條直線的方程，令x=0得到縱截距，看成關于m的函數，求出函數的值域即縱截距的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）設雙曲線C的漸近線方程為y=kx，
又該直線與圓x2+(y-

2

)2=1相切
所以 1=

|k×0- 2 |

k2+1

?k=±1
可設雙曲線C的方程為

x2

a2

-

y2

a2

=1
又雙曲線C的一個焦點為（

2

，0），
所以2a²=2?a²=1
所求雙曲線C的方程為  x²-y²=1
（Ⅱ）由 

y=mx+1 x2-y2=1

得(1-m2)x2-2mx-2=0依題意

4m2+8(1-m2)＞0 2m 1-m2 ＜0 -2 1-m2 ＞0

?1＜m＜

2

線段AB的中點為(

m

1-m2

，

1

1-m2

)，直線l的方程y=

1

-2m2+m+2

(x+2)令x=0，得b=

2

-2m2+m+2

=

2

-2(m- 1 4 )2+ 17 8

因為m∈(1，

2

)，所以-2(m-

1

4

)2+

17

8

∈(-2+

2

，1)
所以 直線l在y軸上截距b∈(-∞，-2-

2

)∪(2，+∞)．

點評：求圓錐曲線的方程一般利用待定系數法；解決直線與圓錐曲線的位置關系一般將直線的方程與圓錐曲線的方程聯立消去一個未知數得到關于另一個未知數的二次方程，利用韋達定理得到交點的坐標的關系，作為突破口來找思路．