Question

已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且兩條漸近線與以點(diǎn)A(0，

2

)為圓心，1為半徑為圓相切，又知C的一個(gè)焦點(diǎn)與A關(guān)于直線y=x對(duì)稱．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若Q是雙曲線C上的任一點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂為雙曲線C的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，從F₁引∠F₁QF₂的平分線的垂線，垂足為N，試求點(diǎn)N的軌跡方程；
（3）設(shè)直線y=mx+1與雙曲線C的左支交于A、B兩點(diǎn)，另一直線L經(jīng)過(guò)M（-2，0）及AB的中點(diǎn)，求直線L在y軸上的截距b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)雙曲線C的漸近線方程為y=kx，根據(jù)題意可得k=±1，所以雙曲線C的方程為

x2

a2

-

y2

a2

=1，C的一個(gè)焦點(diǎn)與A關(guān)于直線y=x對(duì)稱，可得雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)而求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）若Q在雙曲線的右支上，則延長(zhǎng)QF₂到T，使|QT|=|OF₁|；若Q在雙曲線的左支上，則在QF₂上取一點(diǎn)T，
使|QT|=|QF₁|，根據(jù)雙曲線的定義|TF₂|=2，再利用相關(guān)點(diǎn)代入法求出軌跡方程即可．
（3）直線與雙曲線聯(lián)立，進(jìn)而可構(gòu)造f（x）=（1-m²）x²-2mx-2，從而直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，等價(jià)于方程 f（x）=0在（-∞，0）上有兩個(gè)不等實(shí)根，根據(jù)AB的中點(diǎn)，可得直線L的方程，從而可求b的取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)雙曲線C的漸近線方程為y=kx，即kx-y=0．
∵該直線與圓x2+(y-

2

)2=1相切，
∴雙曲線C的兩條漸近線方程為y=±x．
設(shè)雙曲線C的方程為

x2

a2

-

y2

a2

=1，
∵雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)為(

2

，0)，
∴2a²=2，a²=1．
∴雙曲線C的方程為x²-y²=1．
（2）若Q在雙曲線的右支上，則延長(zhǎng)QF₂到T，使|QT|=|OF₁|；
若Q在雙曲線的左支上，則在QF₂上取一點(diǎn)T，使|QT|=|QF₁|．
根據(jù)雙曲線的定義，|TF₂|=2，
所以點(diǎn)T在以F₂(

2

，0)為圓心，2為半徑的圓上，即點(diǎn)T的軌跡方程是(x-

2

)2+y2=4(x≠0)．     ①
由于點(diǎn)N是線段F₁T的中點(diǎn)，設(shè)N（x，y），T（x_T，y_T），
則

x= xT- 2 2 y= yT 2

即

xT=2x+ 2 yT=2y.

代入①并整理，得點(diǎn)N的軌跡方程為 x2+y2=1(x≠

2

2

)．
（3）由

y=mx+1 x2-y2=1

得(1-m2)x2-2mx-2=0．令f（x）=（1-m²）x²-2mx-2，
直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，等價(jià)于方程 f（x）=0在（-∞，0）上有兩個(gè)不等實(shí)根，
因此

△＞0 2m 1-m2 ＜0 -2 1-m2 ＞0.

解得1＜m＜

2

．
又AB的中點(diǎn)為(

m

1-m2

，

1

1-m2

)，
∴直線L的方程為y=

1

-2m2+m+2

(x+2)．
令x=0，得b=

2

-2m2+m+2

=

2

-2(m- 1 4 )2+ 17 8

．
∵m∈(1，

2

)，
∴-2(m-

1

4

)2+

17

8

∈(-2+

2

，1)．
∴故b的取值范圍是(-∞，-2-

2

)∪(2，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題以雙曲線為載體，考查雙曲線的有關(guān)性質(zhì)與定義，以及求軌跡方程的方法（如相關(guān)點(diǎn)代入法），考查直線與雙曲線的位置關(guān)系．