【題目】如圖,在三棱柱中,邊長為的正方形,,
(1)求證:平面;
(2)求二面角的余弦值;
(3)證明:在線段上存在點(diǎn),使得,并求的值。
【答案】(1)證明見解析;(2) (3)證明見解析;
【解析】
(1)根據(jù)所給線段長度,由勾股定理逆定理可得,結(jié)合正方形中的垂直關(guān)系,利用線面垂直的判定定理即可判斷平面.
(2)以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),求得平面與平面的法向量,根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算即可求得向量夾角的余弦值.
(3)假設(shè)在線段上存在點(diǎn),設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)垂直時(shí)的向量坐標(biāo)運(yùn)算求得點(diǎn)的坐標(biāo),即可證明存在點(diǎn);根據(jù)相似,即可求得的值.
(1)因?yàn)?/span>邊長為的正方形, ,,
則,即
又正方形中,且
所以平面
(2)以為原點(diǎn),以所在直線為軸, 以所在直線為軸, 以所在直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
則,,,
所以,,
設(shè)平面的法向量為,平面的法向量為,
則代入可得,令則解得
所以
同理代入可得,令則解得
所以
則
由圖可知, 平面與平面形成的二面角為銳二面角
所以二面角的余弦值為
(3)證明:假設(shè)在線段上存在點(diǎn),使得,過作,作,如下圖所示:
設(shè),則由,即,所以
則,由,即,所以
所以
所以,
因?yàn)?/span>
所以
即,化簡(jiǎn)可得
解得
即在線段上存在點(diǎn),使得
則
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,上頂點(diǎn)為,過點(diǎn)與垂直的直線交軸負(fù)半軸于點(diǎn),且恰是的中點(diǎn),若過三點(diǎn)的圓恰好與直線相切.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線與橢圓交于兩點(diǎn),在軸上是否存在點(diǎn),使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形?如果存在,求出的值;如果不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC,點(diǎn)M為棱A1B1的中點(diǎn).
求證:(1)AB∥平面A1B1C;
(2)平面C1CM⊥平面A1B1C.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率,過焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線被橢圓截得的線段長為3.
(1)求橢圓的方程;
(2)動(dòng)直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn),在平面上是否存在定點(diǎn)P,使得當(dāng)直線PA與直線PB的斜率均存在時(shí),斜率之和是與無關(guān)的常數(shù)?若存在,求出所有滿足條件的定點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】運(yùn)輸公司年有萬輛公交車,計(jì)劃年投入輛新型號(hào)公交車,以后每年投入的新型號(hào)公交車數(shù)量均比上年增加.
(1)年應(yīng)投入多少輛新型號(hào)公交車?
(2)從年到年間共投入多少輛新型號(hào)公交車?
(3)從哪一年開始,該公司新型號(hào)公交車總量超過該公司公交車總量的?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓,點(diǎn)是直線l:上的動(dòng)點(diǎn),若在圓C上總存在不同的兩點(diǎn)A,B使得,則的取值范圍是_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:()的離心率為,橢圓與軸交于兩點(diǎn),且.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且點(diǎn)在軸的右側(cè),直線與直線交于兩點(diǎn),若以為直徑的圓與軸交于,求點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍及的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將個(gè)不同的紅球和個(gè)不同的白球,放入同一個(gè)袋中,現(xiàn)從中取出個(gè)球.
(1)若取出的紅球的個(gè)數(shù)不少于白球的個(gè)數(shù),則有多少種不同的取法;
(2)取出一個(gè)紅球記分,取出一個(gè)白球記分,若取出個(gè)球的總分不少于分,則有多少種不同的取法;
(3)若將取出的個(gè)球放入一箱子中,記“從箱子中任意取出個(gè)球,然后放回箱子中”為一次操作,如果操作三次,求恰有一次取到個(gè)紅球并且恰有一次取到個(gè)白球的概率.
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