【題目】設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,上頂點(diǎn)為,過點(diǎn)與垂直的直線交軸負(fù)半軸于點(diǎn),且恰是的中點(diǎn),若過三點(diǎn)的圓恰好與直線相切.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線與橢圓交于兩點(diǎn),在軸上是否存在點(diǎn),使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形?如果存在,求出的值;如果不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1);(2).
【解析】
試題(1)從已知條件中尋找三者之間的關(guān)系,過三點(diǎn)在同一圓上,又,可以得到圓心為,從而得到,再由直線與圓相切可得,最后再利用求出即可;(2)以為鄰邊的平行四邊形是菱形,可得菱形的對(duì)角線互相垂直,為的中點(diǎn),則,聯(lián)立直線方程和橢圓方程,消元后,利用韋達(dá)定理表示出的坐標(biāo),進(jìn)而利用條件可求出的值.
試題解析:解:(1)設(shè)橢圓的半焦距為,
由為線段中點(diǎn),,
所以三點(diǎn)圓的圓心為,半徑為,
又因?yàn)樵搱A與直線相切,所以.
所以,故所求橢圓方程為;
(2)將直線代入得.
設(shè),則.
∴,
∴的中點(diǎn),
由于菱形對(duì)角線互相垂直,則.
∴,解得.
即存在滿足題意的點(diǎn),且m的值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C:的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,離心率為,點(diǎn)P(1,)為橢圓上一點(diǎn).
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)如圖,過點(diǎn)C(0,1)且斜率大于1的直線l與橢圓交于M,N兩點(diǎn),記直線AM的斜率為k1,直線BN的斜率為k2,若k1=2k2,求直線l斜率的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),在定義域內(nèi)恒成立,求實(shí)數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知被直線分成面積相等的四部分,且截軸所得線段的長(zhǎng)為2.
(1)求的方程;
(2)若存在過點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn),且,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】中國(guó)傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美,如圖所示的太極圖是由黑白兩個(gè)魚形紋組成的圓形圖案,充分展現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)化、對(duì)稱統(tǒng)一的形式美、和諧美,給出定義:能夠?qū)AO的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分的函數(shù)稱為這個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”,給出下列命題:
①對(duì)于任意一個(gè)圓O,其“優(yōu)美函數(shù)”有無(wú)數(shù)個(gè);
②函數(shù)f(x)=ln()可以是某個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”;
③函數(shù)y=1+sinx可以同時(shí)是無(wú)數(shù)個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”;
④函數(shù)y=2x+1可以同時(shí)是無(wú)數(shù)個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”;
⑤函數(shù)y=f(x)是“優(yōu)美函數(shù)”的充要條件為函數(shù)y=f(x)的圖象是中心對(duì)稱圖形.
其中正確的命題是_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),若函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍;
(2)當(dāng)時(shí), 恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱中,邊長(zhǎng)為的正方形,,
(1)求證:平面;
(2)求二面角的余弦值;
(3)證明:在線段上存在點(diǎn),使得,并求的值。
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