【題目】如圖,在四棱錐中:底面ABCD,底面ABCD為梯形,,,且,BC=1,M為棱PD上的點。

(Ⅰ)若,求證:平面PAB;

(Ⅱ)求直線BD與平面PAD所成角的大。

(Ⅲ)求二面角的余弦值.

【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ);(Ⅲ)

【解析】

(Ⅰ)過點MMHAD,交PAH,連接BH,證明MHBC,CMBH,然后證明MC∥平面PAD.(Ⅱ)說明BCABPBAB,PBBC,以B為原點,BC,BA,BP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系,求平面PAD的一個法向量,則可求出直線BD與平面PAD所成角(Ⅲ)求平面PCD的一個法向量,通過向量的數(shù)量積求解二面角的大。

(Ⅰ)過點MMHAD,交PAH,連接BH,

PMPD,∴ HMADBC

MHADADBC,∴HMBC

BCMH為平行四邊形,∴CMBH

BH平面PABCM平面PAB,

MC∥平面PAB

(Ⅱ)∵梯形ABCD中,ADBCADAB,∴BCAB

PB⊥平面ABCD,∴PBAB,PBBC,

如圖,以B為原點,BC,BABP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系,

C10,0),D33,0),A0,3,0),P0,0,3).

設(shè)平面PAD的一個法向量為xy,z),

3,3,﹣3),3,0,0

,

y1得到0 1,1),

設(shè)直線BD與平面PAD所成角為,

sin,

直線BD與平面PAD所成角的大小

(Ⅲ)設(shè)平面PCD的一個法向量為

c=1,得到

,

∴二面角的余弦值為

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