【題目】某個公園有個池塘,其形狀為直角△ABC,∠C=90°,AB=2百米,BC=1百米.
(1)現(xiàn)在準備養(yǎng)一批供游客觀賞的魚,分別在AB、BC、CA上取點D,E,F,如圖(1),使得EF‖AB,EF⊥ED,在△DEF喂食,求△DEF 面積S△DEF的最大值;
(2)現(xiàn)在準備新建造一個荷塘,分別在AB,BC,CA上取點D,E,F,如圖(2),建造△DEF
連廊(不考慮寬度)供游客休憩,且使△DEF為正三角形,求△DEF邊長的最小值.
【答案】(1);(2)百米.
【解析】
試題(1)求△DEF 面積S△DEF的最大值,先把△DEF 面積用一個參數(shù)表示出來,由于它是直角三角形,故只要求出兩直角邊DE和EF,直角△ABC中,可得,由于EF‖AB,EF⊥ED,那么有,因此我們可用CE來表示FE,DE.從而把S△DEF表示為CE的函數(shù),然后利用函數(shù)的知識(或不等式知識)求出最大值;(2).等邊△DEF可由兩邊EF=ED及確定,我們設(shè),想辦法也把與一個參數(shù)建立關(guān)系式,關(guān)鍵是選取什么為參數(shù),由于等邊△DEF位置不確定,我們可選取為參數(shù),建立起與的關(guān)系.,則,中應(yīng)用正弦定理可建立所需要的等量關(guān)系.
試題解析:(1)中,,百米,百米.
,可得,
,,
設(shè),則米,
中,米,C到EF的距離米,
∵C到AB的距離為米,
∴點D到EF的距離為米,
可得,
∵,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,
∴當(dāng)時,即E為AB中點時,的最大值為. 7分
(2)設(shè)正的邊長為,,
則,
設(shè),可得
,,
∴.
在中,,
即,化簡得, 12分
(其中是滿足的銳角),
∴邊長最小值為百米. 14分
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:的短軸端點為,,點是橢圓上的動點,且不與,重合,點滿足,.
(Ⅰ)求動點的軌跡方程;
(Ⅱ)求四邊形面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓C經(jīng)過M(,1),N(,1)兩點,且圓心C在直線x+y﹣3=0上,過點A(﹣1,0)的動直線l與圓C相交于P、Q兩點.
(Ⅰ)求圓C的方程;
(Ⅱ)當(dāng)|PQ|=4時,求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓的左、右焦點分別為,,下頂點為,為坐標原點,點到直線的距離為,為等腰直角三角形.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)直線與橢圓交于,兩點,若直線與直線的斜率之和為,證明:直線恒過定點,并求出該定點的坐標.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知、是橢圓:的左右焦點,焦距為6,橢圓上存在點使得,且的面積為9.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)過的直線與橢圓相交于,兩點,直線與軸不重合,是軸上一點,且,求點縱坐標的取值集合.
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【題目】已知在中,,且.
(1)求角的大小;
(2)設(shè)數(shù)列滿足,前項和為,若,求的值.
【答案】(1);(2)或.
【解析】試題分析:
(1)由題意結(jié)合三角形內(nèi)角和為可得.由余弦定理可得,,結(jié)合勾股定理可知為直角三角形,,.
(2)結(jié)合(1)中的結(jié)論可得 .則 ,據(jù)此可得關(guān)于實數(shù)k的方程,解方程可得,則或.
試題解析:
(1)由已知,又,所以.又由,
所以,所以,
所以為直角三角形,,.
(2) .
所以 ,由,得
,所以,所以,所以或.
【題型】解答題
【結(jié)束】
18
【題目】已知點是平行四邊形所在平面外一點,如果,,.(1)求證:是平面的法向量;
(2)求平行四邊形的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點和橢圓. 直線與橢圓交于不同的兩點.
(Ⅰ) 求橢圓的離心率;
(Ⅱ) 當(dāng)時,求的面積;
(Ⅲ)設(shè)直線與橢圓的另一個交點為,當(dāng)為中點時,求的值 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的兩焦點為,,且過點,直線交曲線于,兩點,為坐標原點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)若不過點且不平行于坐標軸,記線段的中點為,求證:直線的斜率與的斜率的乘積為定值;
(3)若直線過點,求面積的最大值,以及取最大值時直線的方程.
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