【題目】已知函數(shù) , ,其中e為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)求函數(shù) 在x 1處的切線方程;
(2)若存在 ,使得 成立,其中 為常數(shù),
求證: ;
(3)若對任意的 ,不等式 恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】
(1)
解:(1)因為 ,所以 ,故 .
所以函數(shù) 在x 1處的切線方程為 ,
即 .
(2)
由已知等式 得 .
記 ,則 .
假設 .
①若 ,則 ,所以 在 上為單調增函數(shù).
又 ,所以 ,與 矛盾.
②若 ,記 ,則 .
令 ,解得 .
當 時, , 在 上為單調增函數(shù);
當 時, , 在 上為單調減函數(shù).
所以 ,所以 ,
所以 在 上為單調增函數(shù).
又 ,所以 ,與 矛盾.
綜合①②,假設不成立,所以 .
(3)
由 得 .
記 , ,
則 .
①當 時,因為 , ,所以 ,
所以 在 上為單調增函數(shù),所以 ,
故原不等式恒成立.
法一:
②當 時,由(2)知 , ,
當 時, , 為單調減函數(shù),
所以 ,不合題意.
法二:
②當 時,一方面 .
另一方面, , .
所以 ,使 ,又 在 上為單調減函數(shù),
所以當 時, ,故 在 上為單調減函數(shù),
所以 ,不合題意.
綜上, .
【解析】(1.)利用積函數(shù)的導函數(shù)法則求出導函數(shù)再將x=1代入求出斜率求出切線方程。
(2.)假設 ,將 整理為 ,求導又單調性判斷是否在不同點存在相同的y值
(3.)對 求導然后分 、 兩種情況討論。
【考點精析】本題主要考查了復合函數(shù)單調性的判斷方法的相關知識點,需要掌握復合函數(shù)f[g(x)]的單調性與構成它的函數(shù)u=g(x),y=f(u)的單調性密切相關,其規(guī)律:“同增異減”才能正確解答此題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)的定義域為D,若對于a,b,c∈D,f(a),f(b),f(c)分別為某個三角形的三邊長,則稱f(x)為“三角形函數(shù)”.給出下列四個函數(shù): ①f(x)=lg(x+1)(x>0);
②f(x)=4﹣cosx;
③ ;
④
其中為“三角形函數(shù)”的個數(shù)是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設函數(shù)f(x)=(x+b)lnx,g(x)=alnx+ ﹣x(a≠1),已知曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與直線x+2y=0垂直.
(1)求b的值;
(2)若對任意x≥1,都有g(x)> ,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 已知a1=9,a2為整數(shù),且Sn≤S5 .
(1)求{an}的通項公式;
(2)設數(shù)列 的前n項和為Tn , 求證: .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)有1 000根某品種的棉花纖維,從中隨機抽取50根,纖維長度(單位:mm)的數(shù)據(jù)分組及各組的頻數(shù)見右上表,據(jù)此估計這1 000根中纖維長度不小于37.5 mm的根數(shù)是 .
纖維長度 | 頻數(shù) |
[22.5,25.5) | 3 |
[25.5,28.5) | 8 |
[28.5,31.5) | 9 |
[31.5,34.5) | 11 |
[34.5,37.5) | 10 |
[37.5,40.5) | 5 |
[40.5,43.5] | 4 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】《九章算術》之后,人們學會了用數(shù)列的知識來解決問題.公元5世紀中國古代內容豐富的數(shù)學著作《張丘建算經》卷上有題為:“今有女善織,日益功疾,初日織五尺,今一月織九匹三丈.問日益幾何?”.利用這種思想設計的一個程序框圖如圖,若輸出的S值為九匹三丈(一匹=4丈,一丈=10尺),則框圖中d為( )
A.尺
B.尺
C.尺
D.尺
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】平面直角坐標系xOy中,橢圓C: =1(a>b>0)的長軸長為2,拋物線E:x2=2y的準線與橢圓C相切.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若直線l與橢圓C相交于A,B兩點且與拋物線E在第一象限相切于點P,線段AB的中點為D,直線OD與過P且垂直于x軸的直線交于點M,求 的最小值及此時點P的坐標.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在銳角△ABC中,a、b、c分別為角A、B、C所對的邊,且 =2csinA
(1)確定角C的大;
(2)若c= ,且△ABC的面積為 ,求a+b的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0,其前n項和為Sn , 若S9=99,且a4 , a7 , a12成等比數(shù)列. (Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)若 ,證明: .
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