【題目】已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0,其前n項和為Sn , 若S9=99,且a4 , a7 , a12成等比數(shù)列. (Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)若 ,證明: .
【答案】解:(Ⅰ)因為等差數(shù)列{an}的公差d≠0,其前n項和為Sn , S9=99, ∴a5=11,
由a4 , a7 , a12成等比數(shù)列,得 ,
即(11+2d)2=(11﹣d)(11+7d),∵d≠0,∴d=2,
∴a1=11﹣4×2=3,
故an=2n+1
證明:(Ⅱ) =n(n+2), = = ,
∴
= [(1﹣ )+( )+( )+…+( )+( )]
= [1+ ]= ,
故 .
【解析】(Ⅰ)由S9=99,求出a5=11,由a4 , a7 , a12成等比數(shù)列,求出d=2,由此能求出數(shù)列{an}的通項公式.(Ⅱ)求出 =n(n+2),從而 = = ,由此利用裂項求和法能證明 .
【考點精析】關于本題考查的等差數(shù)列的通項公式(及其變式)和數(shù)列的前n項和,需要了解通項公式:或;數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關系才能得出正確答案.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) , ,其中e為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)求函數(shù) 在x 1處的切線方程;
(2)若存在 ,使得 成立,其中 為常數(shù),
求證: ;
(3)若對任意的 ,不等式 恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】某市一次全市高中男生身高統(tǒng)計調查數(shù)據顯示:全市100 000名男生的身高服從正態(tài)分布N(168,16).現(xiàn)從某學校高三年級男生中隨機抽取50名測量身高,測量發(fā)現(xiàn)被測學生身高全部介于160cm和184cm之間,將測量結果按如下方式分成6組:第一組[160,164],第二組[164,168],…,第6組[180,184],如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖. (Ⅰ)試評估該校高三年級男生在全市高中男生中的平均身高狀況;
(Ⅱ)求這50名男生身高在172cm以上(含172cm)的人數(shù);
(Ⅲ)在這50名男生身高在172cm以上(含172cm)的人中任意抽取2人,該2人中身高排名(從高到低)在全市前130名的人數(shù)記為ξ,求ξ的數(shù)學期望.
參考數(shù)據:若ξ﹣N(μ,σ2),則p(μ﹣σ<ξ≤μ+σ)=0.6826,p(μ﹣2σ<ξ≤μ+2σ)=0.9544,p(μ﹣3σ<ξ≤μ+3σ)=0.9974.
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【題目】公元263年左右,我國數(shù)學家劉徽發(fā)現(xiàn)當圓內接正多邊形的邊數(shù)無限增加時,多邊形面積可無限逼近圓的面積,并創(chuàng)立了“割圓術”.利用“割圓術”劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點后兩位的近似值3.14,這就是著名的“徽率”.如圖是利用劉徽的“割圓術”思想設計的一個程序框圖,則輸出n的值為 . (參考數(shù)據:sin15°=0.2588,sin7.5°=0.1305)
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【題目】已知函數(shù)f(x)=|x﹣a|+m|x+a|. (Ⅰ)當m=a=﹣1時,求不等式f(x)≥x的解集;
(Ⅱ)不等式f(x)≥2(0<m<1)恒成立時,實數(shù)a的取值范圍是{a|a≤﹣3或a≥3},求實數(shù)m的集合.
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【題目】閱讀如圖所示的程序框圖,則該算法的功能是( )
A.計算數(shù)列{2n﹣1}前5項的和
B.計算數(shù)列{2n﹣1}前5項的和
C.計算數(shù)列{2n﹣1}前6項的和
D.計算數(shù)列{2n﹣1}前6項的和
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【題目】某中學舉行了一次“環(huán)保知識競賽”活動.為了了解本次競賽學生成績情況,從中抽取了部分學生的分數(shù)(得分取正整數(shù),滿分為100分)作為樣本(樣本容量為n)進行統(tǒng)計.按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分組作出頻率分布直方圖,并作出樣本分數(shù)的莖葉圖(圖中僅列出了得分在[50,60),[90,100]的數(shù)據).
(Ⅰ)求樣本容量n和頻率分布直方圖中x、y的值;
(Ⅱ)在選取的樣本中,從競賽成績是80分以上(含80分)的同學中隨機抽取3名同學到市政廣場參加環(huán)保知識宣傳的志愿者活動,設ξ表示所抽取的3名同學中得分在[80,90)的學生個數(shù),求ξ的分布列及其數(shù)學期望.
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【題目】在等差數(shù)列{an}中,a1=3,其前n項和為Sn , 等比數(shù)列{bn}的各項均為正數(shù),b1=1,公比為q,且b2+S2=12,q= (Ⅰ)求an與bn;
(Ⅱ)設數(shù)列{cn}滿足cn= ,求{cn}的前n項和Tn .
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【題目】已知拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點為F,過F且垂直于x軸的直線與拋物線E交于A,B兩點,E的準線與x軸交于點C,△CAB的面積為4,以點D(3,0)為圓心的圓D過點A,B. (Ⅰ)求拋物線E和圓D的方程;
(Ⅱ)若斜率為k(|k|≥1)的直線m與圓D相切,且與拋物線E交于M,N兩點,求 的取值范圍.
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