在三棱錐S-ABC中,△ABC是邊長為4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2,M為AB的中點.

(Ⅰ)證明:AC⊥SB;

(Ⅱ)求二面角N-CM-B的大;

(Ⅲ)求點B到平面SCM的距離.

解法一:(Ⅰ)取AC中點D,連結DS、DB.

∵SA=SC,BA=BC,

∴AC⊥SD且AC⊥DB,

∴AC⊥平面SDB,又SB平面SDB,

∴AC⊥SB.

(Ⅱ)∵SD⊥AC,平面SAC⊥平面ABC,

∴SD⊥平面ABC.

過D作DE⊥CM于E,連結SE,則SE⊥CM,

∴∠SED為二面角S-CM-A的平面角.

由已知有,所以DE=1,又SA=SC=2,AC=4,∴SD=2.

在Rt△SDE中,tan∠SED==2,

∴二面角S-CM-A的大小為arctan2.

(Ⅲ)在Rt△SDE中,SE=,CM是邊長為4 正△ABC的中線,

.   ∴SSCM=CM?SE=,

設點B到平面SCM的距離為h,

由VB-SCM=VS-CMB,SD⊥平面ABC, 得SSCM?h=SCMB?SD,

∴h=  即點B到平面SCM的距離為

解法二:(Ⅰ)取AC中點O,連結OS、OB.

∵SA=SC,BA=BC,

∴AC⊥SO且AC⊥BO.

∵平面SAC⊥平面ABC,平面SAC∩平面ABC=AC

∴SO⊥面ABC,∴SO⊥BO.

如圖所示建立空間直角坐標系O-xyz.

則A(2,0,0),C(-2,0,0),

S(0,0,2),B(0,2,0).

=(-4,0,0),=(0,-2,2),

?=(-4,0,0)?(0,-2,2)=0,

∴AC⊥BS.

(Ⅱ)由(Ⅰ)得M(1,,0),,

=(2,0,2).   設n=(x,y,z)為平面SCM的一個法向量,

則 

∴n=(-1,,1), 又=(0,0,2)為平面ABC的一個法向量,

∴cos(n,)==

∴二面角S-CM-A的大小為arccos

(Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)得=(2,2,0),

n=(-1,,1)為平面SCM的一個法向量,

∴點B到平面SCM的距離d=

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網如圖,在三棱錐S-ABC中,側面SAB與側面SAC均為邊長為1的等邊三角形,∠BAC=90°,O為BC中點.
(Ⅰ)證明:SO⊥平面ABC;
(Ⅱ)證明:SA⊥BC;
(Ⅲ)求三棱錐S-ABC的體積.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網如圖,在三棱錐S-ABC中,側面SAB與側面SAC均為等邊三角形,∠BAC=90°,O為BC中點.
(Ⅰ)證明:SO⊥平面ABC;
(Ⅱ)求二面角A-SC-B的余弦值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網如圖,在三棱錐S-ABC中,側面SAB⊥底面ABC,且∠ASB=∠ABC=90°,AS=SB=2,AC=2
3


(Ⅰ)求證SA⊥SC;
(Ⅱ)在平面幾何中,推導三角形內切圓的半徑公式r=
2S
l
(其中l(wèi)是三角形的周長,S是三角形的面積),常用如下方法(如右圖):
①以內切圓的圓心O為頂點,將三角形ABC分割成三個小三角形:△OAB,△OAC,△OB精英家教網C.
②設△ABC三邊長分別為a,b,c.由S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB,
S=
1
2
ar+
1
2
br+
1
2
cr
=
1
2
lr
,則r=
2S
l

類比上述方法,請給出四面體內切球半徑的計算公式(不要求說明類比過程),并利用該公式求出三棱錐S-ABC內切球的半徑.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,在三棱錐S-ABC中,SA=AB=BC=AC=
2
SB=
2
SC
,O為BC中點.
(1)求證:SO⊥平面ABC
(2)在線段AB上是否存在一點E,使二面角B-SC-E的平面角的余弦值為
15
5
?若存在,確定E點位置;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在三棱錐S-ABC中,側棱SC⊥平面SAB,SA⊥BC,側面△SAB,△SBC,△SAC的面積分別為1,
3
2
,3,則此三棱錐的外接球的表面積為( 。

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