精英家教網(wǎng)如圖,在三棱錐S-ABC中,側(cè)面SAB⊥底面ABC,且∠ASB=∠ABC=90°,AS=SB=2,AC=2
3


(Ⅰ)求證SA⊥SC;
(Ⅱ)在平面幾何中,推導(dǎo)三角形內(nèi)切圓的半徑公式r=
2S
l
(其中l(wèi)是三角形的周長,S是三角形的面積),常用如下方法(如右圖):
①以內(nèi)切圓的圓心O為頂點,將三角形ABC分割成三個小三角形:△OAB,△OAC,△OB精英家教網(wǎng)C.
②設(shè)△ABC三邊長分別為a,b,c.由S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB,
S=
1
2
ar+
1
2
br+
1
2
cr
=
1
2
lr
,則r=
2S
l

類比上述方法,請給出四面體內(nèi)切球半徑的計算公式(不要求說明類比過程),并利用該公式求出三棱錐S-ABC內(nèi)切球的半徑.
分析:(I)過S作SO⊥AB,垂足為O,由已知中側(cè)面SAB⊥底面ABC,結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得OS⊥底面ABC.以O(shè)為坐標(biāo)原點,OA為x軸,OS為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出直線SA與SC的方向向量,代入向量的數(shù)量積公式,即可得到SA⊥SC;
(Ⅱ)根據(jù)平面內(nèi)與面積相關(guān)的性質(zhì)可類比為空間內(nèi)與體積有關(guān)的性質(zhì),我們可以類比平面中r=
2S
l
,得到r=
3V
S
,連接球心與四個頂點,將大三棱錐分解為四個小三棱錐,然后根據(jù)四個小棱錐的體積和等于大棱錐的體積,即可證明結(jié)論.
解答:精英家教網(wǎng)解:(Ⅰ)過S作SO⊥AB,垂足為O,
∵側(cè)面SAB⊥底面ABC,∴OS⊥底面ABC.
∵SA=SB,∴O為AB中點.
以O(shè)為坐標(biāo)原點,OA為x軸,OS為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.
∵∠ASB=∠ABC=90°,AS=SB=2,AC=2
3
,
AB=2
2
,BC=2
,OS=
2
,
∴A(
2
,0,0)
,C(-
2
,2,0)
,S(0,0,
2
)

SA
=(
2
,0,-
2
)
,
SC
=(-
2
,2,-
2
)

SA
SC
=-2+0+2=0

∴SA⊥SC.
(Ⅱ)三棱錐內(nèi)切球的半徑公式為r=
3V
S

(其中V為三棱錐的體積,S為三棱錐的表面積).
在Rt△SAB中,SA=SB=2,∴S△SAB=2.
在Rt△ABC中,AB=2
2
,AC=2
3
,∴BC=2.∴S△ABC=2
2

在Rt△SAC中,SA=2,AC=2
3
,∴SC=2
2
.∴S△SAC=2
2
B(-
2
,0,0)
,
BC
=(0,2,0)
,
SB
=(-
2
,0,-
2
)

BC
SB
=0
,則BC⊥SB.
在Rt△SBC中,SB=2,BC=2.∴S△SBC=2.
VS-ABC=
1
3
S△ABC•SO=
4
3

r=
3V
S
=
2
-1
點評:本題考查的知識點是平面與平面垂直的性質(zhì),線線垂直的判定,類比推理,(1)的關(guān)鍵是建立空間坐標(biāo)系,將線線垂直問題轉(zhuǎn)化為向量垂直問題,(2)的關(guān)鍵是將大三棱錐分解為四個小三棱錐,根據(jù)四個小棱錐的體積和等于大棱錐的體積,得到結(jié)論.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在三棱錐S-ABC中,SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC.
(1)求證:AB⊥BC;
(2)若設(shè)二面角S-BC-A為45°,SA=BC,求二面角A-SC-B的大。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在三棱錐S-ABC中,G1,G2分別是△SAB和△SAC的重心,則直線G1G2與BC的位置關(guān)系是(  )

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在三棱錐S-ABC中,平面SBC⊥平面ABC,SB=SC=AB=2,BC=2
2
,∠BAC=90°,O為BC中點.
(Ⅰ)求點B到平面SAC的距離;
(Ⅱ)求二面角A-SC-B的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•杭州模擬)如圖,在三棱錐S-ABC中,SA=SC=AB=BC,則直線SB與AC所成角的大小是(  )

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•成都一模)如圖,在三棱錐S-ABC中,SA丄平面ABC,SA=3,AC=2,AB丄BC,點P是SC的中點,則異面直線SA與PB所成角的正弦值為(  )

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案