如圖,在三棱錐S-ABC中,平面SBC⊥平面ABC,SB=SC=AB=2,BC=2
2
,∠BAC=90°,O為BC中點(diǎn).
(Ⅰ)求點(diǎn)B到平面SAC的距離;
(Ⅱ)求二面角A-SC-B的余弦值.
分析:(Ⅰ)以O(shè)B、OA、OS為x,y,z軸建立直角坐標(biāo)系,用坐標(biāo)表示點(diǎn)與向量,求得平面SAC的法向量
n
=(-1,1,1)
,而
SB
=(
2
,0,-
2
)
,從而可求點(diǎn)B到平面SAC的距離d=|
n
SB
|
n
|
|;
(Ⅱ)由已知得平面SBC的法向量
m
=(0,1,0),平面SAC的法向量
n
=(-1,1,1),從而可得二面角A-SC-B的余弦值.
解答:解:(Ⅰ)因?yàn)镾B=SC,O為BC中點(diǎn),所以SO⊥BC
而平面平面SBC⊥平面ABC,平面SBC∩平面ABC=BC,所以SO⊥平面ABC,
以O(shè)B、OA、OS為x,y,z軸建立直角坐標(biāo)系,得B(
2
,0,0),A(0,
2
,0),S(0,0,
2
),C(-
2
,0,0),
SA
=(0,
2
,-
2
)
,
SC
=(-
2
,0,-
2
)
,
設(shè)平面SAC的法向量為
n
=(x,y,z)

n
SA
=0
n
SB
=0
,∴
2
y-
2
z=0
-
2
x-
2
z=0
,可取
n
=(-1,1,1)

SB
=(
2
,0,-
2
)
,故點(diǎn)B到平面SAC的距離d=|
n
SB
|
n
|
|=
2
2
3
=
2
6
3

(Ⅱ)由已知得平面SBC的法向量
m
=(0,1,0),平面SAC的法向量
n
=(-1,1,1)
∴二面角A-SC-B的余弦值等于
m
n
|
m
||
n
|
=
1
3
=
3
3
點(diǎn)評(píng):本題考查點(diǎn)到面的距離,考查面面角,解題的關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系,確定平面的法向量,屬于中檔題.
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