精英家教網(wǎng)如圖,在三棱錐S-ABC中,側(cè)面SAB與側(cè)面SAC均為等邊三角形,∠BAC=90°,O為BC中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:SO⊥平面ABC;
(Ⅱ)求二面角A-SC-B的余弦值.
分析:(1)欲證SO⊥平面ABC,根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證SO與平面ABC內(nèi)兩相交直線垂直,而SO⊥BC,SO⊥AO,又AO∩BO=O,滿足定理?xiàng)l件;
(2)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),射線OB,OA分別為x軸、y軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,求出兩半平面的法向量,求出兩法向量的夾角即可.
解答:精英家教網(wǎng)證明:
(Ⅰ)由題設(shè)AB=AC=SB=SC=SA,連接OA,△ABC為等腰直角三角形,
所以OA=OB=OC=
2
2
SA
,且AO⊥BC,
又△SBC為等腰三角形,故SO⊥BC,
SO=
2
2
SA
,從而OA2+SO2=SA2
所以△SOA為直角三角形,SO⊥AO.
又AO∩BO=O.
所以SO⊥平面ABC.
(Ⅱ)解:
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),射線OB,OA分別為x軸、y軸的正半軸,
建立如圖的空間直角坐標(biāo)系O-xyz.
設(shè)B(1,0,0),則C(-1,0,0),A(0,1,0),S(0,0,1).SC的中點(diǎn)M(-
1
2
,0,
1
2
)
MO
=(
1
2
,0,-
1
2
),
MA
=(
1
2
,1,-
1
2
),
SC
=(-1,0,-1)
.∴
MO
SC
=0,
MA
SC
=0

MO⊥SC,MA⊥SC,<
MO
,
MA
等于二面角A-SC-B的平面角.
cos<
MO
,
MA
>=
MO
MA
|
MO
|•|
MA
|
=
3
3
,
所以二面角A-SC-B的余弦值為
3
3
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查直線與平面垂直,以及二面角等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力,運(yùn)算能力和推理論證能力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在三棱錐S-ABC中,SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC.
(1)求證:AB⊥BC;
(2)若設(shè)二面角S-BC-A為45°,SA=BC,求二面角A-SC-B的大小.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在三棱錐S-ABC中,G1,G2分別是△SAB和△SAC的重心,則直線G1G2與BC的位置關(guān)系是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在三棱錐S-ABC中,平面SBC⊥平面ABC,SB=SC=AB=2,BC=2
2
,∠BAC=90°,O為BC中點(diǎn).
(Ⅰ)求點(diǎn)B到平面SAC的距離;
(Ⅱ)求二面角A-SC-B的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•杭州模擬)如圖,在三棱錐S-ABC中,SA=SC=AB=BC,則直線SB與AC所成角的大小是(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•成都一模)如圖,在三棱錐S-ABC中,SA丄平面ABC,SA=3,AC=2,AB丄BC,點(diǎn)P是SC的中點(diǎn),則異面直線SA與PB所成角的正弦值為( 。

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同步練習(xí)冊(cè)答案