Question

【題目】已知函數(shù)

（1）設(shè)，當時，求函數(shù)的定義域，判斷并證明函數(shù)的奇偶性；

（2）是否存在實數(shù)，使得函數(shù)在遞減，并且最小值為1，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）奇函數(shù)（2）不存在

【解析】試題分析：（1）當時, 有意義，需要滿足，可得定義域，又，可得函數(shù)為奇函數(shù)

（2）假設(shè)存在實數(shù),并設(shè)， ，所以在上單調(diào)遞增， 由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，所以要滿足可得解

試題解析：（1）當時，

所以

由得， ，所以函數(shù)的定義域為，

所以定義域關(guān)于原點對稱

又因為

所以函數(shù)為奇函數(shù)

（2）假設(shè)存在實數(shù)

令， ，所以在上單調(diào)遞增，

又∵函數(shù)在遞減， 由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，

又函數(shù)在的最小值為1，

所以所以， 所以 所以無解

所以不存在實數(shù)滿足題意