【題目】已知函數(shù)f(x)=(λx+1)ln x-x+1.
(1)若λ=0,求f(x)的最大值;
(2)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線x+y+1=0垂直,證明:>0.
【答案】見解析
【解析】(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),
當(dāng)λ=0時(shí),f(x)=ln x-x+1.
則f′(x)=-1,令f′(x)=0,解得x=1.
當(dāng)0<x<1時(shí),f′(x)>0,∴f(x)在(0,1)上是增函數(shù);
當(dāng)x>1時(shí),f′(x)<0,∴f(x)在(1,+∞)上是減函數(shù).
故f(x)在x=1處取得最大值f(1)=0.
(2)證明:由題可得,f′(x)=λln x+-1.
由題設(shè)條件,得f′(1)=1,即λ=1.
∴f(x)=(x+1)ln x-x+1.
由(1)知,ln x-x+1<0(x>0,且x≠1).
當(dāng)0<x<1時(shí),f(x)=(x+1)ln x-x+1=xln x+(ln x-x+1)<0,
>0.
當(dāng)x>1時(shí),f(x)=ln x+(xln x-x+1)=ln x-x>0,∴>0.
綜上可知,>0.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)設(shè),當(dāng)時(shí),求函數(shù)的定義域,判斷并證明函數(shù)的奇偶性;
(2)是否存在實(shí)數(shù),使得函數(shù)在遞減,并且最小值為1,若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)設(shè)a,b是兩個(gè)不相等的正數(shù),若,用綜合法證明:a+b>4
(2)已知a>b>c,且a+b+c=0,用分析法證明: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=ln x-ax(a∈R)(e=2.718 28…是自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)判斷f(x)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)f(x)<0在(0,+∞)上恒成立時(shí),求a的取值范圍;
(3)證明:當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí), (1+x) <e.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線平行,且,其中.
(Ⅰ)求的值,并求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù),對于正實(shí)數(shù),若,使得成立,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為創(chuàng)建全國文明城市,某區(qū)向各事業(yè)行政單位征集“文明過馬路”義務(wù)督導(dǎo)員.從符合條件的600名志愿者中隨機(jī)抽取100名,按年齡作分組如下:,,,,,并得到如下頻率分布直方圖.
(I)求圖中的值,并根據(jù)頻率分布直方圖統(tǒng)計(jì)這600名志愿者中年齡在的人數(shù);
(II)在抽取的100名志愿者中按年齡分層抽取5名參加區(qū)電視臺“文明伴你行”節(jié)目錄制,再從這5名志愿者中隨機(jī)抽取2名到現(xiàn)場分享勸導(dǎo)制止行人闖紅燈的經(jīng)歷,求至少有1名年齡不低于35歲的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】袋中有五張卡片,其中紅色卡片三張,標(biāo)號分別為1,2,3;藍(lán)色卡片兩張,標(biāo)號分別為1,2.
(1)從以上五張卡片中任取兩張,求這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號之和小于4的概率;
(2)現(xiàn)袋中再放入一張標(biāo)號為0的綠色卡片,從這六張卡片中任取兩張,求這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號之和小于4的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從某校高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)考試成績中,隨機(jī)抽取了名學(xué)生的成績得到如圖所示的頻率分布直方圖:
(1)根據(jù)頻率分布直方圖,估計(jì)該校高三學(xué)生本次數(shù)學(xué)考試的平均分;
(2)若用分層抽樣的方法從分?jǐn)?shù)在和的學(xué)生中共抽取人,該人中成績在的有幾人?
(3)在(2)中抽取的人中,隨機(jī)抽取人,求分?jǐn)?shù)在和各人的概率.
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